Матрица конечного поворота
Рассмотрим задачу о нахождении направляющих косинусах, задающих ориентацию подвижной системы координат Oxyz относительно некоторой, назовем ее неподвижной, системой координат OXYZ. Исходную систему координат подвижного трехгранника обозначим Ox0y0z0 и до поворота она соответственно совпадала с системой координат OXYZ. Пусть трехгранник Oxyz переместился из положения Ox0y0z0 в текущее в результате одного поворота на угол около оси On, заданной единичным ортом в системе координат OXYZ. Ось On может занимать разное направление, не обязательно совпадающим с одной из осей трехгранника OXYZ. Представим используемые системы координат и их связи граф-схемой:
Рис.1.4.
Здесь
- матрица направляющих косинусов, задающая ориентацию трехгранника Oxvyvzv, одна из осей которого (пусть первая ось Oxv) задает ориентацию оси поворота On;
- матрица поворота относительно оси On .
Тогда искомая матрица конечного поворота определяется соотношением
.
Или раскрывая выражение и используя свойства (1.9) , получим матрицу конечного поворота в следующем виде
где
(1.11)
- направляющие косинусы, задающие ориентацию оси On поворота ПО на угол . Таким образом, положение подвижной системы координат задается с помощью четырех параметров: , .
Матричная форма формулы Эйлера
Пусть в системе координат СКm задана точка M, которая определена вектором
;
где – проекции вектора на оси системы координат СКm, что отмечено нижним индексом “m”.
Определим линейную скорость точки М в проекциях на оси системы координат СКm. Согласно формуле Эйлера [1] имеем
. (1.12)
Здесь – вектор угловой скорости системы координат СКm относительно системы координат СКs, выраженный в проекциях этого вектора на оси системы координат СКm.
Используя матричную форму векторного произведения, запишем
Запишем полученный результат в матричной форме
, (1.13)
где (1.14)
Индекс “~ ” (тильда) указывает на кососимметричную форму данной матрицы.
Формула Пуассона
В традиционной форме обозначения угловую скорость можно представить в виде
.
Заметим, что в формуле (1.13) неявно было положено условие
.
В общем случае, когда выведем рабочее соотношение другим способом.
Продифференцируем соотношение
т.е.
Т.о. вектор линейной скорости точки М в данном случае (в общем случае движения точки М), выраженный в проекциях на оси системы координат СКm имеет вид
или в форме теоремы о полной производной
(1.15)
Заметим, что при этом имеет место очень важное соотношение
, (1.16)
которое позволяет определять проекции угловой скорости поворота одной системы координат относительно другой, используя только матрицы направляющих косинусов.
Формула (1.16), записанная в ниже следующей форме, часто называется формулой Пуассона[1, 2, 4]
(1.17)
Или в другой форме
(1.18)