Применение теоремы Гаусса к расчету электрических полей

Система зарядов	Напряженность поля	II потенциал
Точечный заряд Q	E = Q/4πε0r2	φ =Q/4πε0r φ∞ = 0
Равномерно заряженная бесконечная плоскость с поверхностной плотностью зарядов σ	E = σ/2ε0
Две равномерно разноименно заряженные бесконечные плоскости, расположенные на расстоянии d	0 ≤ r ≤ d: E= 0 r < 0; r > d: E = σ/ε0
Равномерно заряженная сфера радиусом R	0 < r < R: E = 0 r = R: E = Q/4πε0R2 r > R: E = Q/4πε0r2	0 < r ≤ R: φ = Q/4πε0R r > R: φ = Q/4πε0r
Равномерно объемно заряженный шар, радиусом R	0 < r < R: E = Qr/4πε0R3 r = R: E = O/4πε0R2 r > R: E = Q/4πε0r2	0 < r < R: r = R: φ = Q/4πε0R r > R: φ = Q/4πε0r
Равномерно заряженный бесконечный цилиндр радиуса R (нить) с линейной плотностью заряда τ	r < R: E = 0 r = R: E = τ/2πε0R; r > R: E = τ/2πε0r	r < R: φ = τ/2ε0 r > R:

Пример 11.В вакууме имеется скопление зарядов в форме длинного цилиндра радиуса R = 2 см (рис. 11). Объемная плотность зарядов постоянна и равна ρ = 2 мКл/м³. Найти напряженность поля в точках 1 и 2, лежащих на расстояниях r₁ = 1,0 см и r₂ = 2,0 см от оси цилиндра. Построить график Е(r).

Условие:

R = 2 см = 0,02 м;

r₁ = 1,0 см =0,01 м;

r₂= 2,0 см = 0,02 м;

Е₁ - ? Е₂ - ? Е(r) - ?

Решение. Поле создано зарядом, равномерно распределенным по объему. Конфигурация зарядов позволяет считать, что поле обладает осевой симметрией: силовые линии - прямые и в любой плоскости, перпендикулярной оси цилиндра радиальны. Предполагаемая симметрия позволяет искать напряженность с помощью теоремы Гаусса. Вспомогательной поверхности следует придать форму цилиндрической поверхности, коаксиальной заряду.

Характер функциональной зависимости Е(г) для точек лежащих внутри и вне объемного заряда различен. Поэтому следует провести две вспомогательные поверхности S₁ и S₂ с радиусами r₁ < R и r₂ > R. Для каждой поверхности теорема Гаусса может быть записана в виде

(1)

Боковая поверхность вспомогательного цилиндра и его торцы находятся в заведомо разных условий относительно силовых линий поля, причем во всех точках торцов Е dS = π/2 и поток вектора напряженности сквозь торцевые поверхности равен нулю. На боковых поверхностях S_{1,2 бок} нормаль совпадает с направлением радиуса-вектора, поэтому EdS = E_rdS и

E_rdS. (2)

Все точки боковой поверхности находятся в одинаковых условиях относительно заряда, что позволяет считать Е_r(г) постоянной величиной. Тогда

E_rdS = E_r2πrh, (3)

где r и h - радиус и высота вспомогательной поверхности.

Сумма зарядов, охваченных вспомогательной поверхностью, стоящая в правой части выражения (3), зависит от радиуса вспомогательной поверхности.

При r < R Q = ρπr²h, (4)

где r – расстояние от оси цилиндра до точки, в которой определяется напряженность поля и одновременно радиус вспомогательной поверхности S₁.

Подставляя выражение (3) в (1) и заменяя интеграл по замкнутой поверхности S₁ правой частью равенства (4) получаем

E₁2πrh = ρπr²h/ε₀,

откуда E₁ = ρr/2ε₀, (5)

Е₁ = 1,1·10³ В/м.

При r > R Q = ρπR² h .

Подставляя (3) в (31) и заменяя интеграл по замкнутой поверхности S₂ правой частью равенства (4) получаем

E₂2πrh = τπR²h/ε₀.

Откуда E₂ = ρR²/2ε₀r. (6)

Е₂ = 1,5·10³ В/м.

Для построения графика Е(г) на оснований выражений (5) и (6) целесообразно рассчитать Е_r при г = R: Е(R) = ρR/2ε₀ = 2,3∙10³ В/м.

Расчет по формулам (5) и (6) дает один и тот же результат, так как напряженность на этой поверхности не терпит разрыва. Графическая зависимость Е(г) показана на рис. 11.

ТЕМА 9. ДИЭКТРИКИ, ПРОВОДНИКИ И КОНДЕНСАТОРЫ

9.1. Диэлектрики. Электрическое поле в диэлектриках

Электрический момент диполя: где – плечо диполя

Поляризованность: P = σ´, где V – объем диэлектрика; pi -дипольный момент i -й молекулы; n0 – концентрация молекул; σ´ - поверхностная плотность связанных зарядов.

Связь между поляризованностью и напряженностью электростатического поля: P = æε0E, где æ > 0 - диэлектрическая восприимчивость вещества

Связь между диэлектрической проницаемостью и диэлектрической восприимчивостью вещества: ε = 1 + æ

Связь между векторами электрического смещения и напряженностью электростатического поля: . Связь между векторами электростатического смещения, напряженностью и поляризованностью:

Элементарный поток вектора электрического смещения через площадку: dФD = = DdScos α = DndS, где –вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с нормалью к площадке; Dn –составляющая вектора по направлению нормали n к площадке

Теорeмa Гаусса для электростатического поля в диэлектрике: Фd = = DdScos α = DndS = , где - алгебраическая сумма Qi, заключенных внутри замкнутой поверхности свободных электрических зарядов. Интегрирование ведется по всей поверxности.

9. 2. Электроемкость проводникoв и конденсаторов

Электроемкость уединенного проводника: где Q–заряд, сообщенный проводнику, φ - потенциал проводника. Электроемкость проводника, помещенного в диэлектрик: C = εC0 Электроемкость шарового проводника: C = 4πε0εR где R–радиус шара; ε – диэлектрическая проницаемость среды

Электроемкость конденсатора: C = , где Q – заряд, сообщенный одной из обкладок; ∆φ - разность потенциалов между обкладками

Емкость плоского конденсатора: где S - площадь каждой пластины конденсатора; d – расстояние между пластинами

Емкость цилиндрического конденсатора: , где l – длина обкладок конденсатора; r1 и r2 - радиусы полых коаксиальных цилиндров

Емкость сферического конденсатора: где r1 и r2 - радиус концентрических сфер

Емкость системы конденсаторов   последовательное соединение: 1/ C = 1/ Ci; параллельное соединение: C = Ci, где Ci - емкость i-го конденсатора, n - число конденсаторов в батарее.

8.3 Энергия системы точечных электрических зарядов, заряженных проводников и конденсаторов. Энергия электростатического поля. Объемная плотность энергии. Пондермоторные силы.

Энергия взаимодействия системы точечных зарядов: Wn = Qiφi/2, где φi - потенциал, создаваемый в той точке, где находится заряд Qi всеми зарядами, кроме i–го

Энергия уединенного заряженного проводника: Wn = C2/2φ = Qφ/2 = Q2/2C, где Q– заряд ; C –электроемкость, φ –потенциал проводника

Энергия заряженного конденсатора: Wn = C2/2∆φ = Q∆φ/2 = Q2/2C, где ∆φ - разность потенциалов между обкладками

Энергия электростатического поля плоского конденсатора (однородное поле): , Где S– площадь одной из пластин; V = Sd - объем конденсатора

Объемная плотность энергии: w = ; w = εε0E2/2 = D2/2 εε0 = ED/2, где D - электрическое смещение

Энергия электрического поля Wn = w dV

Силы притяжения между двумя разноименно заряженными обкладками плоского конденсатора (пондермоторные силы): F = Q2/(2 εε0S) = σ2S/(2 εε0 )= εε0E2S/2

Пример 12.Между обкладками плоского конденсатора, заряженного до разности потенциалов U = 1,5 кВ, зажата парафиновая пластинка (ε = 2) толщиной d = 5 мм. Определить поверхностную плотность связанных зарядов на парафине.

Условие:

U = 1,5 кВ = 1,5∙10³ В;

ε = 2;

d = 5 мм = 5·10^{-3 м;}

σ′ - ?

Решение. Вектор электрического смещения D =ε₀E +P, где Е – вектор напряженности электрического поля, Р – вектор поляризации.

Так как векторы D и Е нормальны к поверхности диэлектрика, то D = D_n, E = E_n.

Тогда можно записать D = ε₀E + P, где Р = σ′ , т.е. равна поверхностной плотности связанных зарядов диэлектрика. Тогда

σ′ = D – εε₀E.

Учитывая, что D = εε₀E и E = U/d, где d – расстояние между обкладками конденсатора, найдем

σ′ = (ε - 1)ε₀Е = ε₀(ε - 1)U/d =2,65 мкКл/м².

Пример 13.Определить ускоряющую разность потенциалов Δφ, которую должен пройти в электрическом поле электрон, чтобы его скорость возросла от v₁ = 1,0 Мм/с до v₂ = 5,0 Мм/с.

Условие:

v₁ = 1,0 Мм/с = 1,0·10⁶ м/с;

v₂ = 5,0 Мм/с = 5,0·10⁶ м/с ;

е = 1,6·10^-19 Кл;

m = 9,1·10^{-31 кг;}

Δφ - ?

Решение. Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда из точки 1 в точку 2

А = е Δφ. (1)

С другой стороны, она равна изменению кинетической энергии электрона

А = W₂ – W₁ = mv₂²/2 - mv₁²/2. (2)

Приравняв выражения (1) и (2), найдем ускоряющую разность потенциалов

Δφ = m (v₂² – v₁²)/2e = 68, 3 В.

Пример 14.К пластинам плоского воздушного конденсатора приложена разность потенциалов Δφ₁ = 1,5 кВ. Площадь пластин S =150 cм² и расстояние между ними d = 5,0 мм. После отключения конденсатора от источника напряжения в пространство между пластинами внесли стекло (ε = 7). Определить: 1) разность потенциалов между пластинами после внесения диэлектрика; 2) емкость конденсатора С₁ и С₂ до и после внесения диэлектрика; 3) поверхностную плотность заряда σ на пластинах до и после внесения диэлектрика.

Условие:

Δφ₁ = 1,5 кВ =1,5·10³ В;

S = 150см² = 1,5·10^{-2 м2};

d =5 мм = 5·10^{-3 м;}

ε₁ = 7, ε₂ = 1;

Δφ₂ - ? С₁ -? С₂ - ?

σ₁ - ?, σ₂ - ?

Решение. Так как Е₁ = Δφ₁/d = до внесения диэлектрика и E₂ = Δφ₂/d = после внесения диэлектрика, поэтому

и

Δφ₂ = ε₁Δφ₁/ε₂ = 214 В.

Емкость конденсатора до и после внесения диэлектрика

С₁ = 4πε₁ε₀S/d = 26,5 пФ, C₂ = 4πε₁ε₀S/d = 186 пФ.

Заряд пластин после отключения от источника напряжения не меняется, т. е. Q = const. Поэтому поверхностная плотность заряда на пластинах до и после внесения диэлектрика

σ₁ = σ₂ = Q/S = C₁Δφ₁/S = C₂Δφ₂/S = 2,65 мкКл/м².

ТЕМА 10. Постоянный электрический ток

10.1. Электрический ток, сила и плотность тока

Сила тока Единица силы тока - 1 А (ампер) Сила постоянного тока: =const Плотность тока: Единица плотности тока - 1 А/м2 Заряд, переносимый через поперечное сечение проводника за время dt,: dQ = ne<v>Sdt, где n и e – концентрация и заряд носителей тока, <v> - средняя арифметическая скорость упорядоченного движения электронов Сила тока: Плотность тока:

10.2. Электродвижущая сила (ЭДС). Напряжение

ЭДС: , где Аст - работа сторонних сил по перемещению положительного заряда Qo Работа сторонних сил по перемещению заряда Q0 на замкнутом участке пути: , где - напряженность поля сторонних сил. ЭДС, действующая в цепи,: ЭДС на участке цепи

Сила, действующая на заряд в проводнике: Работа результирующей силы на участке 1-2 зарядом Q0:   Для замкнутой цепи: Напряжение на участке 1-2:

10.3. Сопротивление проводников

Сопротивление однородного линейного проводник длиной l и площадью поперечного сечения S где - удельное электрическое сопротивление Единица измерения сопротивления – Ом Единица измерения удельного сопротивления – Ом.м Электрическая проводимость: Единица измерения электрической проводимости – См (сименс) Удельная электропроводимость: Единица измерения удельной электропроводности – См-1 Зависимость сопротивления от температуры: , где - температурный коэффициент сопротивления, К-1, t – температура, 0С.

10.4. Последовательное и параллельное соединение проводников

Соединение	Последовательное	Параллельное
Постоянная величина	I1 = I2 = …=In I=concs	U1=U2=…Un U=const
Суммируемая величина	Напряжение	сила тока
Результирующее сопротивление

10.5. Закон Ома для однородного участка и замкнутой цепи.

Закон Ома для однородного участка цепи (не содержащего источника тока): ,

Закон Ома в дифференциальной форме:

Закон Ома для замкнутой цепи: где R –сопротивление внешней цепи, r – внутреннее сопротивление источника тока. Напряжение на внешней цепи: Ток короткого замыкания:

Закон Ома для батареи последовательно соединенных элементов: где n- число элементов в батарее

Закон Ома для батареи параллельно соединенных элементов: где n – число элементов в батарее

Закон Ома для смешанного соединения элементов в батарею: где k- число ветвей в батарее, n – число элементов в ветви.

Закон Ома для неоднородного участка цепи (обобщенный закон Ома): где - действующая на участке 1-2 ЭДС, - разность потенциалов, приложенная к концам проводника.

10.6. Анализ обобщенного закона Ома

	Источника тока нет:	Из ОЗО:	Закон Ома для однородного участка цепи
	Цепь замкнута	Из ОЗО: где R- сопротивление всей цепи	Закон Ома для замкнутой цепи
	Цепь разомкнута: I=0	Из ОЗО :	ЭДС в разомкнутой цепи равна разности потенциалов на ее концах

10.7. Правила Кирхгофа для разветвленных цепей

Первое правило Кирхгофа: Алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:

Второе правило Кирхгофа: В любом замкнутом контуре:

10.8. Работа и мощность тока

Элементарная работа электрического тока: dA= Udq = IUdt = I2Rdt =

Работа электрического тока: A= IUdt = I2Rdt = Единица работы – Дж (джоуль) Внесистемная единица работы 1квт.ч= 3,6 МДж=.3,6.106 Дж

Работа постоянного электрического тока: A= Uq = IUt = I2Rt =

Мощность электрического тока: Единица мощности – Вт (ватт)

Закон Джоуля - Ленца: dQ= Udq = IUdt = I2Rdt = Закон Джоуля –Ленца в интегральной форме: Q== IUdt = I2Rdt =

Закон Джоуля – Ленца для постоянного тока Q= Uq = IUt = I2Rt =

Закон Джоуля – Ленца в дифференциальной форме: , где - удельная тепловая мощность тока

Коэффициент полезного действия источника тока (КПД):

Пример 15.Найти сопротивление R , железного стержня диаметром d = 1 cм, если масса стержня m = 1 кг.

Условие:

d = 1 см = 0,01 м

v = 1 кг

=0,087 мкОм.м=8,7.10^-8 Ом^.м.

=7,7^.10³ кг/м³

R -?

Решение:

-Сопротивление стержня определяется по формуле

,

где удельное сопротивление железа, -длина стержня и площадь поперечного сечения.

Масса проволоки

,

где V - объем стержня, - плотность стали.

Откуда длина стержня равна:

,

поскольку площадь поперечного сечения стержня

Тогда сопротивление стержня равно:

тЕМА 11. Магнитное поле

11.1. Основные характеристики магнитного поля

Вращающий момент сил на рамку с током в магнитном поле где pm-магнитный момент рамки с током, - магнитная индукция; - угол между нормалью к плоскости контура и вектором

Магнитный момент рамки с током S – площадь поверхности контура (рамки); - единичный вектор нормали к поверхности рамки

Магнитная индукция где Ммах – максимальный вращающий момент Единица измерения индукции магнитного поля: Тл (тесла)= 1Н/А.м

Магнитная индукция: , где - вектор напряженности магнитного поля, А/м - магнитная проницаемость среды, - магнитная постоянная

Принцип суперпозиции (наложения) магнитных полей: Магнитная индукция результирующего поля равна: где Вi – магнитная индукция, создаваемая каждым током (движущимся зарядом) в отдельности

11.2. Закон Био -Савара – Лапласа и его применение

Закон Вио – Савара – Лапласа: Магнитная индукция, создаваемая элементом проводника с током I в некоторой точке равна: , где - радиус-вектор, проведенный из элемента dl проводника в точку поля. Скалярная форма записи закона Био – Савара – Лапласа имеет вид: где - угол между и .

Магнитное поле прямого тока: , где - углы, под которыми из рассматриваемой точки поля видны начало и конец проводника, r – расстояние до проводника Магнитное поле бесконечного прямого тока:

Магнитное поле в центре кругового витка радиусом r:

Магнитное поле на оси кругового витка на расстоянии b от его центра = где – магнитный момент витка с током I

Магнитное поле на оси соленоида конечной длины: , где n=N/L – число витков, приходящихся на единицу длины, N, L – соответственно, число витков и длина соленоида, - углы, под которыми из произвольной точки на оси соленоида видны его концы Максимальная индукция в центре соленоида равна: , где r – радиус витка соленоида.

11.3. Закон Ампера. Взаимодействие параллельных токов.

Сила Ампера, действующая на элемент проводника с током I , где - угол между и . Сила Ампера, действующая в магнитном поле на проводник конечной длины l с током I: Сила Ампера, действующая в однородном магнитном поле на прямолинейный проводник: , где -угол между током (вектором плотности тока) в проводнике и вектором

Сила взаимодействия двух параллельных токов I1, I2 длиной l находящихся на расстоянии r друг от друга:

11.4. Магнитное поле движущегося заряда

Магнитное поле точечного заряда Q, свободно движущегося с нерялитивистской скоростью , где - радиус-вектор, проведенный из заряда Q к точке наблюдения, - угол между и .

11.5. Действие магнитного поля на движущийся заряд. Сила Лоренца. Движение заряженных частиц в магнитном поле

Сила Лоренца: где Q – электрический заряд, движущийся со скоростью в магнитном поле с индукцией угол между и

Формула Лоренца (сила, действующая на движущийся заряд со стороны магнитного поля с индукцией и электрического поля с напряженностью :

1. В однородном магнитном поле, если угол между и равен 0 или , сила Лоренца Fл=0, то частица движется равномерно и прямолинейно   2. Если угол = /2, тогда , частица движется по окружности радиуса: , период обращения частицы равен: 3. Заряженная частица движется со скоростью под углом к вектору , возникает движение по спирали, ось которой параллельна магнитному полю. Шаг винтовой линии: Радиус спирали равен:

11.6 Теорема о циркуляции вектора (закон полного тока для магнитного поля в вакууме) и ее применение к расчету магнитных полей

Теорема о циркуляции вектора : Циркуляция вектора по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром: где - составляющая вектора в направлении касательной к контуру с учетом (выбранного обхода), - угол между векторами и

Магнитное поле на оси бесконечно длинного соленоида (цилиндрической катушки):

Магнитное поле внутри тороида (кольцевой катушки): , где N- число витков, r – расстояние от центра тороида.

Пример 16.Ток I =20 А, протекая по кольцу из медной проволоки сечением S = 1 мм², создает в центре кольца напряженность Н = 178 А/м. Какая разность потенциалов U приложена к концам проволоки. образующей кольцо?

Условие:

I=20 A

S = 1 мм² = 10^{-6 м2}

Н = 178 А/м

мкОм.м=1,7.10^-8 Ом^.м

U-?

Решение

Напряженность в центре кругового тока , (1)

Откуда радиус витка равен . (2)

К концам проволоки приложено напряжение (3)

где сопротивление проволоки равно

Подставив полученные значения R в (3), получим:

Пример 2. Заряженная частица движется в магнитном поле по окружности со скоростью V = 10⁶ м/с. Индукция магнитного поля В =0,3 Тл. Радиус окружности R = 4 см. Найти заряд q частицы, если известно, что ее энергия W=12 кэВ.

Условие:

V=10⁶ м/с

В = 0,3 Тл

R = 4 см = 0,04 м

W=12кэВ= 1,92.10^-14Дж

q-?

Решение

В магнитном поле на частицу действует сила Лоренца:

Поскольку частица движется по окружности , то сила Лоренца сообщает частице ускорение . Следовательно (1)

Энергия частицы: , следовательно (2)

Подставляя (2) в (1), получим ,

Из этого уравнения найдем заряд частицы:

ТЕМА 12. РАБОТА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ. ЯВЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ. ЭНЕРГИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ.

12.1. Поток вектора магнитной индукции (магнитный поток). Теорема Гаусса для поля

Элементарный магнитный поток сквозь площадку dS:

Магнитный поток сквозь произвольную поверхность S

Магнитный поток в однородном поле: где - угол между направлением вектора нормали к площадки и вектора Единица измерения магнитного потока – 1 Вб (вебер) =1 Тл.м2

Теорема Гаусса для поля : Поток вектора магнитной индукции сквозь произвольную замкнутую поверхность равен нулю:

12.2 Работа по перемещению проводника и контура с током в магнитном поле

Элементарная работа по перемещению проводника с током в магнитном поле:

Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле:

Работа по перемещению контура с током в магнитном поле где - потокосцепление, N- число витков контура.

12.3. Закон Фарадея (закон электромагнитной индукции). Правило Ленца.