Газ в поле тяжести (распределение Больцмана)

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.

1. Плотность вещества,

, . (1)

2. Концентрация молекул,

, . (2)

, . (3)

Давление

, = Па (Паскаль). (4)

- нормальная (перпендикулярная к площадке) составляющая силы , действующей на площадку .

1мм.рт.ст.=133 Па.

4. Моль - кол-во вещества, содержащее столько же молекул, сколько их содержит 12 грамм изотопа углерода .

Один моль вещества содержит молекул (число Авогадро ).

Молярная масса - масса моля вещества.

Для воды ( ) .

Масса одной молекулы . (5)

Количество молей (количество вещества)

, . (6)

5. Температура Т по шкале Кельвина связана с температурой t по Цельсию:

T=t+273 K.

6. Нормальные условия (н.у.): t=0°С и p=760 мм.рт.ст.

=101,3 кПа.

ИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ.

Условия идеальности газа:

1. можно пренебречь взаимодействием молекул;

2. можно пренебречь собственным объемом молекул;

3. соударения молекул можно рассматривать как абсолютно упругие.

Азот N₂, кислород O₂ , водород H₂, пары воды H₂O и другие газы при условиях, близких к нормальным, удовлетворяют условиям идеальности.

Законы идеального газа:

1. Закон Дальтона: давление смеси газов равно сумме их парциальных давлений

. (7)

Парциальное – это давление газа, входящего в смесь.

2. Уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона)

, (10)

=8,31 Дж/(моль·К) – газовая постоянная.

=1,38·10^-23 Дж/K – постоянная Больцмана.

Также :

={ } ,

, (11)

- концентрация молекул.

Основное уравнение МКТ

, (12)

- средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы.

- средняя квадратичная скорость молекул, .

.

Следствия из основного уравнения МКТ.

1) средняя кинетическая энергия поступательногодвижения молекулы.

,

.

Приравнивая правые части: .

2) средняя квадратичная скорость молекул

,

.

, или

.

- масса одной молекулы.

Распределение Максвелла молекул по скоростям (распределение Максвелла).

- число молекул в каком–либо объеме газа,

- число молекул со скоростями от до ( + ).

- относительное число (доля) молекул, движущихся со скоростью .

- «функция Максвелла», ее вид установлен Д.Максвеллом,

(13)

Т₂ > T ₁!!

Свойства функции Максвелла:

· Площадь, ограниченная функцией и осью , равна единице:

= = = 1 .

· Наиболее вероятная скорость молекул газа .

– скорость, с которой движется наибольшее число молекул при данной температуре (на нее приходится максимум функции Максвелла).

= 0 при = (условие max-ма функции).

,

= =

= .

=0, если = 0.

,

или , .

· Средняя арифметическая скорость молекул.

= = , (14)

- число молекул, движущихся со скоростью ,

- полное число молекул.

Т.к. величина скорости распределена непрерывно, то сумма в (14) переходит в интеграл:

, или

=

=

После интегрирования:

, или

. (15)

· Число молекул со скоростями от до .

= = = .

.

Т.е. доля молекул со скоростями от до равна площади заштрихованного участка на рисунке 1.

Газ в поле тяжести (распределение Больцмана)

Если плотность среды постоянна, то

, .

,

.

Если плотность меняется, то

. (16)

Из уравнения Менделеева-Клапейрона:

, или .

Подставим в (16):

.

Разделим переменные и проинтегрируем:

,

.

, ,

. (17)

Ур-е (17) - «барометрическая формула». Является приближенным, т.к. считалось, что = const.

Т.к. , то для концентраций также:

.

. Тогда

.

- потенц энергия молекулы в поле тяжести Земли.

- изменение концентрации частиц, в зависимости от величины их потенциальной энергии (распределение Больцмана).