Применение теоремы Гаусса к расчету некоторых электростатических полей в вакууме

1. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскостью.

Бесконечная плоскость (рис.8) заряжена с постоянной поверхностной плотностью (- заря, приходящийся на единицу поверхности).

Линии напряженности перпендикулярны рассматриваемой плоскости и направлены от нее в обе стороны. В качестве замкнутой поверхности мысленно построим цилиндр, основания которого параллельны заряженной плоскости, а ось перпендикулярна ей.

Так как образующие цилиндра параллельны линиям напряженности cos =0, то поток вектора напряженности сквозь боковую поверхность цилиндра равен нулю, а полный поток сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь его основание (площади оснований равны, и для основания Еn совпадает с Е), т.е. ЗЕS. Заряд, заключенный внутри построенной цилиндрической поверхности, равен . Согласно теореме Гаусса, .

Откуда .Из формулы вытекает, что Е не зависит от длины цилиндра, т.е. напряженность поля на любых расстояниях одинаково по модулю, иными словами, поле равномерно заряженной плоскости однородно.

3. Поле равномерно заряженной сферической плоскостью.

Сферическая поверхность радиуса R с общим зарядом Q заряжена равномерно с поверхностной плотностью

Благодаря равномерному распределению заряда по поверхности поля, создаваемое им, обладает сферической симметрией. Поэтому линии напряженности направлены радикально

Е=0

Построим мысленно сферу радиусом г, имеющую общий центр с заряжен­ной сферой. Если г>R, то внутрь поверхности попадает весь заряд Q, создаю­щий рассматриваемое поле, н, по теореме Гаусса,. Откуда

(r>=R).

При r>R поле убывает с расстоянием r по такому же закону, как у точечного заряда. График зависимости Е от r приведен на рис.11.

Если r<R, то замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому внутри равномерно заряженной сферической поверхности электростатическое поле отсутствует (Е=0).

4. Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра (нити).

Бесконечный цилиндр радиуса R (рис.12) заряжен равномерно с линейной плотностью ( - заряд, приходящийся на единицу длины).

Для расчета напряженности электростатического поля в точке, отстоящей на расстоянии r от оси цилиндра (см. рис.12) или нити, можно воспользоваться формулой

(r>=R) Если r<R, то замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому в этой области Е=0. Таким образом, напряженность поля вне равномерно заря­женного бесконечного цилиндра определяется выражением (1.11), внутри же его поле отсутствует.

52. Потенциал электростатического поля.Потенциал электростатического поля. Важное свойство элек­тростатического поля заключается в том, что работа поля по пере­несению пробного заряда не зависит от траектории (или, что то же самое, работа поля вдоль замкнутой траектории равна нулю). Поля, обладающие таким свойством, называют потенциальными. (Потенци­альное поле — это поле консервативных сил.

Опираясь на свойство потенциальности, можно определить потен­циальную энергию Wq пробного заряда q во внешнем электростати­ческом поле. Делается это так же, как в механике.

1. Определяем разность потенциальных энергий в различных точ­ках

где Аq(r1, r2} — работа поля по переносу заряда q из точки r1 в точку r2. Она равна изменению потенциальной энергии, взятому с обратным зна­ком.

2. Выбираем положение пробного заряда (точка г0), в котором по­тенциальная энергия равна нулю (выбор точки отсчета потенциальной энергии). Получаем выражение для потенциальной энергии пробного заряда в произвольной точке пространства

(обычно точку r0 выбирают на бесконечности).

Так как сила Fq, действующая на пробный заряд со стороны поля, пропорциональна q: Fq = qE, то и работа по любой траектории пропор­циональна q. Из формулы (8) следует, что Wq/q не зависит от величины пробного заряда q, т.е. является характеристикой поля в данной точке. Эту величину называют потенциалом поля и обозначают буквой φ:

Подставляя Wq - qφ в формулу (7), получаем выражение для работы поля над зарядом q:

Величину φ1- φ2 наз разностью потенциалов между точками.

53. Градиент. Связь потенциала с напряжённостью поля. Эквипотеци-е пов-ти. Градиент потенциал.Для получения связи между Е и j в одной точке воспользу емся выраж. для элементарн. работы при перемещении q₀ на dl по произвол. траектории. dA=q₀E_ldl. В силу потенциального характера сил электростатического поля эта работа соверш. за счет убыли потенциальной энергии. dA= - q₀ dj = - П E_ldl = - dj 3) E_l= - (dj /dl). Проекция вектора напряж. поля на произвольном направлении (l) равна взятой с обратным знаком производной по этому направлению. 4) E_x= - (dj /dx) E_y= - (dj /dy) E_z= - (dj/dz)

_ _ _ _

E= - ( i (¶/¶x)+j (¶/¶y)+k (¶/¶z))´j

_

E= -grad Напряженность поля в данной т. равна взятому с обр. знаком градиенту потенцеала в этой точке. Градиент сколяр. фукции явл. вектором. Градиент показывает быстроту изменения потенцеала и направлен в стор. увелич потенцеала. Напряж. поля всегда перпендикулярна к эквпотенцеальным линиям.

Пусть точечный заряд q₀ перемещается в доль эквипотенцеала j =const , dl - на эквипотенцеали. dA=q₀E_ldl dA=0 т.к. Dj =0 , E_l=Ecosa q₀Ecosa dl =0, q₀¹0 E¹0 dl¹0 cosa=0 a=90⁰

Связь между напряженностью и потенциалом.

1. Пусть известна напряженность поля во всем пространстве. Раз­ность потенциалов между произвольными точками А и В можно вы­числить, разбив соединяющую их линию на малые участки длиной ∆l_i; (i = 1, 2, ...) и применяя на каждом участке формулу (11):

φ_{A -} φ_B=E₁∆1₁cosα₁ +E₂∆1₂cosα₂+.....

2. Если, наоборот, известен потенциал во всех точках простран­ства, то, построив систему эквипотенциальных поверхностей, найдем направление Е в любой точке (вектор Е перпендикулярен эквипотенци­альным поверхностям и направлен в сторону уменьшения потенциала). Чтобы найти Е, надо применить формулу (11) к двум близким точкам на одной силовой линии: Е = |∆φ/∆x|. Видно, что как напряженность, так и потенциал содержат, каждый по отдельности, полную информа­цию об электростатическом поле.

Замечание. Можно вычислить проекцию Е_х на произвольную ось X, если известен потенциал на этой оси φ(х). Для этого надо применить формулу (10) к двум близким точкам на этой оси:

qE_х∆x=q(φ(х)- φ(x+∆x)) т.е. E_х=-φ’(х)

Например, в предыдущем примере можно найти напряженность поля на оси кольца не методом суперпозиции, а взяв производную (с обратным знаком) от потенциала.

Эквипотенциальные поверхности. Геометрическое место точек, обладающих одинаковым потенциалом φ, называют эквипотенци­альной поверхностью потенциала φ. В каждой точке эта поверхность перпендикулярна, вектору напряженности. (Работа поля равна нулю при любом смещении пробного заряда q вдоль поверхности (см. (10)). Значит, сила qE должна быть перпендикулярна к поверхности.)

Замечание. Поверхность проводника всегда представляет собой эквипотенциальную поверхность.

Разность потенциалов в однородном поле. Рассмотрим две точки А и В (АВ = l).

Если угол между векторами АВ и Е равен α (рис. 45), то

(ось х параллельна Е). Действительно, работа поля равна F_qlcosα = (qЕ)1соsα, а по фор­муле (10) она же равна q(φ₁- φ₂)- Сокращая q, получим формулу (11).