Собственная функция оператора проекции импульса

.

Уравнение на собственную функцию дает

Приравниваем правые стороны и получаем дифференциальное уравнение

.

Разделяем переменные

,

интегрируем

,

находим

.

Результат совпадает с координатной зависимостью плоской волны де Бройля

, (1.11)

описывающей частицу с постоянным импульсом p. В результате обоснована форма оператора импульса.

Поскольку p – любое вещественное число, то спектр непрерывный. Условие ортонормированности для непрерывного спектра

дает

.

Используем интегральное представление дельта-функции

,

находим . В результате получена собственная функция оператора импульса, или волновая функция частицы, движущейся с импульсом p:

. (2.10)

Множество функций со всеми возможными собственными значениями образует базис с условиями ортонормированности и полноты

,

. (2.10а)