Энергия магнитного поля соленоида

Рассчитаем энергию однородного магнитного поля длинного соленоида, индуктивность которого определяется по формуле . В этом случае формула (4.14) примет вид

.

Учитывая, что напряженность поля внутри бесконечно длинного соленоида H = nI, получаем

. (4.15)

Выразим энергию магнитного поля через индукцию :

(4.16)

или

(4.17)

Е д и н и ц а - Дж (джоуль).

Магнитное поле соленоида однородно и сосредоточено внутри него. Энергия магнитного поля, заключенная в единице объёме соленоида называется объёмной плотностью энергии и определяется по формуле

(4.18)

Е д и н и ц а w - (джоуль на кубический метр).

В случае неоднородного магнитного поля энергия определяется по формуле

.

Магнитные свойства вещества

Всякое вещество является магнетиком, т.е. способно под действием внешнего магнитного поля намагничиваться. Магнитная индукция внутри магнетика зависит от магнитной проницаемости вещества :

, (4.19)

где -вектор магнитной индукции внешнего магнитного поля.

Магнитная проницаемость у всех веществ различна. Она может быть как больше, так и меньше единицы. Различают диамагнетики ( < 1), парамагнетики ( > 1), ферромагнетики

( >> 1). Магнитная проницаемость парамагнетиков и диамагнетиков не зависит от индукции B (напряженности H) внешнего магнитного поля. У ферромагнетиков зависит от внешнего магнитного поля, т.е. между B и H существует нелинейная зависимость. График зависимости магнитной индукции B некоторых ферромагнетиков от напряженности H внешнего магнитного поля представлен на рис. 4.3.

Рис. 4.3

Вопросы для самоконтроля

1. Запишите выражение и сформулируйте основной закон электромагнитной индукции (закон Фарадея – Ленца).

2. Что называется явлением самоиндукции?

3. Напишите выражение для э.д.с. самоиндукции.

4. Что такое индуктивность контура (соленоида) и от чего она зависит?

5. Назовите единицу индуктивности.

6. Каков физический смысл индуктивности?

7. Запишите выражение для определения индуктивности соленоида.

8. Запишите закон изменения силы тока в цепи, содержащей последовательно включённые R и L при включении и выключении источника постоянного тока. Постройте график и поясните его.

9. Дайте определение явления взаимной индукции, напишите формулу определения ЭДС взаимной индукции.

10. От чего зависит взаимная индуктивность? В каких единицах измеряется? По какой формуле определяется взаимная индуктивность двух контуров?

11. Как рассчитывается энергия и плотность энергии магнитного поля?

12. Действие каких электрических приборов основано на явлении взаимной индукции?

Примеры решения задач

Задача 1.При скорости изменения силы тока в соленоиде, равной 50 А/с, на его концах возникает ЭДС самоиндукции В. Определить индуктивность L cоленоида.

Дано: Решение.

А/с Индуктивность соленоида связана с ЭДС

самоиндукции и скоростью изменения силы

В тока в его обмотке соотношением

.

L - ? Вынося постоянную величину L за знак приращения,

получим

.

Опустив знак «минус» в этом равенстве (направление э.д.с. в данном случае несущественно) и выразив интересующую нас величину – индуктивность, получим

; (мГн).

Ответ:L = 1,6 мГн.

Задача 2.Катушка имеет сопротивление R = 10 Ом и индуктивность L = 0,1 Гн. Через сколько времени после выключения в катушке возникнет ток, равный половине установившегося?

Дано: Решение.

R = 10 Ом При выключении тока в катушке он не мгновенно

L = 0,1 Гн становится равным нулю. При убывании тока

в катушке возникает ЭДС самоиндукции, пре-

пятствующая убыванию тока.

t - ?

Возникает экстраток размыкания. Этот ток будет изменятся по закону

,

где - установившийся ток в катушке (в начальный момент времени ), I – ток в момент времени t, R – сопротивление катушки, L – её индуктивность. Тогда

; , отсюда

Вычислим : .

Ответ:t = c.

Задача 3.Источник тока замкнули на катушку с сопротивлением R = 10 Ом и индуктивностью L = 1 Гн. Через сколько времени сила тока замыкания достигает 0,9 предельного значения.

Дано: Решение.

R = 10 Ом Закон изменения силы тока при замыкании цепи

L = 1 Гн имеет вид:

I = 0,9∙I ,

t -?

т.к. , то 0,9 , отсюда . Логарифмируем это выражение:

; => .

Вычислим: (с).

Ответ:t = 0,23 с.

Задача 4. На железный стержень длиной = 50 см и сечением = 2 см² намотан в один слой провод так, что на каждый сантиметр длины стержня приходится 20 витков. Определить энергию магнитного поля в сердечнике соленоида, если сила тока в обмотке = 0,5 А.

Дано: Решение

= 50 см = 0,5 м Энергия магнитного поля

соленоида

S = 2 см² = 2 ^.10^{-4 м2}

= 20 .

I = 0,5 А

Индуктивность соленоида

,

- ? где = 4p · 10^-7 .

Магнитная проницаемость сердечника соленоида: ,

где В – индукция магнитного поля внутри соленоида, Н – напряженность.

Подставив в формулу энергии индуктивность L и магнитную проницаемость , получим расчетную формулу:

,

где .

Найдем напряженность Н: Н = 2 ^.10^{3 .} 0,5 = 10^{3 ( )}.

Индукцию В можно найти из графика зависимости В от Н (см. рис. 4.3). При Н = 10³ индукция равна : В = 1,3 Тл.

Вычислим энергию магнитного поля, подставив числовые значения в расчетную формулу.

= 0,065 (Дж).

Ответ: = 0,065 Дж.

Задача 5.Индуктивность L соленоида длиной ℓ = 60 см и площадью поперечного сечения S = 4 см² равна 4 Гн. При какой силе тока I объёмная плотность энергии магнитного поля внутри соленоида составляет 2 Дж/м³?

Дано: Решение.

L = 4 Гн Энергия магнитного поля внутри соленоида

ℓ = 60 см = 0,6 м ,

S = 4 см² = 4 м² где I – сила тока.

= 2 Дж/м³

I -?

Объёмная плотность энергии , откуда ,

где V = ℓS - объём соленоида, тогда , отсюда

;

(А).

Ответ:I = 1,55 A.

Задача 6. На один немагнитный сердечник намотаны две катушки, имеющие индуктивности L₁ = 0,2 Гн и L₂ = 0,8 Гн. Какой ток потечет во второй катушке, если ток I₁ = 0,3 А в первой катушке выключить в течение = 0,001 с. Сопротивление второй катушки R₂ = 600 Ом.

Дано: Решение

L₁ = 0,2 Гн ; ;

L₂ = 0,8 Гн .

I = 0,3 A - индуктивность 1-ой катушки (4.20)

- индуктивность 2-ой катушки (4.21)

R₂ = 600 Ом - взаимная индуктивность. (4.22)

I₂ - ?

Из (4.20) выразим , из (4.21) выразим , подставим в (4.22) и получим , откуда .

Тогда .

.

Подставляя числовые значения, находим:

(А).

Ответ: I₂ = 0,2 А.

Задачи для самостоятельного решения

Самоиндукция

Задача 4.1.При помощи реостатаравномерно увеличивают силу тока в катушке на А в секунду. Индуктивность катушки Гн. Найти среднее значение ЭДС самоиндукции.

Ответ: =1 мВ.

Задача 4.2.В соленоиде без сердечника, содержащем N = 1000 витков, при увеличении силы тока магнитный поток увеличился на = 1 мВб. Определить среднюю ЭДС самоиндукции , возникающую в соленоиде, если изменение силы тока произошло за время = 0,1 с. Ответ: =10 В.

Задача 4.3.Если сила тока, проходящего в некотором соленоиде, изменяется на = 40 А/с, то на концах соленоида возникает среднее значение ЭДС самоиндукции < > = 0,1 В. Найти индуктивность соленоида.

Ответ:L = 2,5 мГн.

Задача 4.4.Катушка длиной ℓ = 50 см и диаметром d = 5 см содержит N = 200 витков. По катушке течёт ток I = 1 А. Определить: 1) индуктивность катушки L; 2) магнитный поток , пронизывающий площадь её поперечного сечения.

Ответ:1) L = 197 мкГн; 2) Ф = 986 нВб.

Задача 4.5.Длинный соленоид индуктивностью L = 4 мГн содержит N = 600 витков. Площадь поперечного сечения соленоида S = 20 см². Определить магнитную индукцию поля B внутри соленоида, если сила тока I, протекающего по его обмотке, равна 6 А.

Ответ:B = 0,02 Тл.

Задача 4.6.Определить, сколько витков проволоки N, вплотную прилегающих друг к другу, диаметром d = 0,5 мм с изоляцией ничтожной толщины надо намотать на картонный цилиндр диаметром D = 1,5 см, чтобы получить однослойную катушку индуктивностью L = 100 мкГн.

Ответ:N = 225 витков.

Задача 4.7.По соленоиду течёт ток I = 2 А. Магнитный поток пронизывающий поперечное сечение соленоида, равен 4 Вб. Определить индуктивность соленоида L, если он имеет N = 800 витков.

Ответ:L =1,6 мГн.

Задача 4.8. Обмотка соленоида с железным сердечником содержит N = 500 витков. Длина сердечника равна 50 см. Как и во сколько раз изменится индуктивность L соленоида, если сила тока, протекающего по обмотке, возрастет от А до А. Зави-

симость B = f(H) дана на рис.4.3.

Ответ: -уменьшится в 6,5 раза.

Задача 4.9.Две длинные катушки намотаны на общий сердечник, причём индуктивность этих катушек L = 0,64 Гн и 0,04 Гн. Определить, во сколько раз число витков первой катушки больше, чем второй.

Ответ: = 4 .

Задача 4.10.По катушке, индуктивность которой L = 0,03 Гн, течет ток силой I =0,6 А. При размыкании цепи сила тока изменяется практически до нуля за время = 120 мс. Определить среднюю ЭДС самоиндукции < >, возникающую в контуре.

Ответ: < > =0,15 В.

Задача 4.11.На картонный каркас длиной = 50 см и площадью сечения S = 4 см ,намотан в один слой провод диаметромd =0,2 мм так, что витки плотно прилегают друг к другу (толщиной изоляции пренебречь). Вычислить индуктивность L получившегося соленоида.

Ответ:L =6,28 мГн.

Задача 4.12.Соленоид, площадь сечения которого равна S = 5 см , содержит N = 1200 витков. Индукция В магнитного поля внутри соленоида при силе тока I =2 А равна 0,01 Тл. Определить индуктивность соленоида L.

Ответ:L = 3 мГн.

Взаимная индукция

Задача 4.13.Две катушки намотаны на один общий сердечник. Определить их взаимную индуктивность, если при скорости изменения силы тока в первой катушке А/с во второй катушке индуцируется ЭДС В.

Ответ:M =0,1 Гн.

Задача 4.14.Две катушки намотаны на один сердечник. Индуктивность первой катушки L₁ = 0,12 Гн, второй - Гн. Сопротивление второй катушки R₂ = 300 Ом. Определить силу тока I₂ во второй катушке, если за время с силу тока в первой катушке уменьшить от I₁ = 0,5 А до нуля.

Ответ:I₂ = 0,1 А.

Задача 4.15.Две катушки расположены на небольшом расстоянии одна от другой. Когда сила тока в первой катушке изменяется с быстротой , во второй катушке возникает ЭДС индукции В. Определить коэффициент взаимной индуктивности катушек М.

Ответ:M = 0,02 Гн.

Задача 4.16.На соленоид с немагнитным сердечником длиной = 0,2 м и площадью поперечного сечения S = 3 ∙ 10^{-3 м² надет проволочный виток. Число витков соленоида} N = 320. Какая средняя ЭДС взаимоиндукции < > возникнет в витке, если ток соленоида I = 3 А выключить в течение Δt = 0,001 с.

Ответ:< >=0,018 В.

Задача 4.17.Два соленоида (L = 0,64 Гн, L = 1 Гн) одинаковой длины и практически равных сечений вставлены один в другой. Определить взаимную индуктивность М соленоидов.

Ответ:М= 0,8 Гн.

Энергия, объемная плотность энергии

Задача 4.18.Сила тока I в обмотке соленоида, содержащей N = 1500 витков, равна 5 А. Магнитный поток через поперечное сечение соленоида составляет 200 мкВб. Определить энергию магнитного поля в соленоиде.

Ответ: =0,75 Дж.

Задача 4.19.Обмотка электромагнита, находясь под постоянным напряжением, имеет сопротивление R = 15 Ом и индуктивность L = 0,3 Гн. Определить время t, за которое в обмотке выделится количество теплоты Q, равное энергии магнитного поля в сердечнике.

Ответ: ∆t = 0,01 с.

Задача 4.20.Соленоид без сердечника с однослойной обмоткой из проволоки диаметром d = 0,5 мм имеет длину ℓ = 0,4 м и поперечное сечение S = 50 см². Какой ток I течёт по обмотке при напряжении U = 10 В, если за время t = 0,5 мс в обмотке выделяется количество теплоты Q, равное энергии поля внутри соленоида? (Поле считать однородным).

Ответ:I = 995 мА.

Задача 4.21.По соленоиду длиной = 0,5 м, имеющему число витков N = 250, течет ток силой I = 5 А. Площадь поперечного сечения S = 25 см . В соленоид вставлен железный сердечник. Найти энергию магнитного поля соленоида. Зависимость B = f(H) дана на рис. 4.3.

Ответ: =2,18 Дж.

Задача 4.22.Индуктивность соленоида при длине = 1 м и площади поперечного сечения S = 20 см² равна 0,4 мГн. Определить силу тока I в соленоиде, при которой объёмная плотность энергии магнитного поля внутри соленоида равна 0,1 Дж/м³.

Ответ:I = 1 А.

Задача 4.23.Тороид с воздушным сердечником содержит N = 20 витков на 1 см. Определить объёмную плотность энергии в тороиде, если по его обмотке протекает ток I = 3 А.

Ответ: =22,6 Дж/м³.

Задача 4.24.Определить объёмную плотность энергии магнитного поля в стальном сердечнике, если индукция В магнит-

ного поля равна 0,5 Тл ( см. рис. 4.3).

Ответ: =25 Дж/м .

Задача 4.25.При некоторой силе тока I объемная плотность энергии магнитного поля соленоида (без сердечника) равна 0,2 Дж/м . Во сколько раз увеличится плотность энергии поля при той же силе тока, если соленоид будет иметь железный сердечник

(рис. 4.3)?

Ответ:В 1600 раз.

Токи при замыкании и размыкании цепи

Задача 4.26.Катушку индуктивностью L = 0,6 Гн подключают к источнику тока. Определить сопротивление катушки R, если за время t = 3 с сила тока I через катушку достигает 80% предельного значения.

Ответ:R = 322 мОм.

Задача 4.27.Определить, через сколько времени t сила тока замыкания I достигнет 0,95 предельного значения, если источник тока замыкают на катушку сопротивлением R = 12 Ом и индуктивностью L = 0,5 Гн.

Ответ:t = 125 мс.

Задача 4.28.Имеется катушка индуктивностью L = 0,1 Гн и сопротивлением R = 0,8 Ом. Определить, во сколько раз уменьшится сила тока I в катушке через 30 мс, если источник тока отключить и катушку замкнуть накоротко.

Ответ: .

Задача 4.29.Определить силу тока I в цепи через 0,01 с после её размыкания. Сопротивление цепи R = 20 Ом, индуктивность L = 0,1 Гн. До размыкания в цепи шёл ток А.

Ответ:I =6,75 А.

Задача 4.30.Электрическую цепь сопротивлением R = 10 Ом и индуктивность L = 1 Гн разомкнули. Через сколько времени сила тока уменьшится до 0,001 первоначального значения?

Ответ:t = 0,69 с.

ГЛАВА 5.