Определение моментов инерции тел на приборе Обербека

Краткая теория

Моментом инерции материальной точки называется скалярная величина, равная произведению массы точки на квадрат расстояния от точки до оси вращения:

.

Моментом инерции твердого теланазывается сумма моментов инерции материальных точек, из которых состоит тело:

.

Момент инерции –это мера инертности при вращательном движении (в этом состоит физический смысл момента инерции).

Теорема Штейнера

где – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс; – момент инерции этого тела относительно параллельной оси, отстоящей от первой на расстоянии ; – масса тела.

Моментом силы относительно неподвижной точки
называется векторная физическая величина, определяемая векторным произведением радиус-вектора , проведенного из данной точки в точку приложения силы, на силу :

.

Модуль момента силы относительно неподвижной оси:

,

где – плечо силы (кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью вращения); – угол между направлениями силы и радиуса-вектора. Направление момента силы совпадает с осью, относительно которой происходит вращение, и может быть определено по правилу буравчика.

Работа при вращении тела

где – угол поворота тела; – момент силы относительно оси .

Момент импульса (момент количества движения) твердого тела относительно оси вращения :

где – расстояние от оси до отдельной частицы тела; – импульс этой частицы; – момент инерции тела относительно оси ; – его угловая скорость.

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси :

или ,

где – угловое ускорение; – момент инерции тела относительно оси ; – момент импульса тела относительно оси .

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси ,

где – момент инерции тела относительно оси ; – его угловая скорость.

Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения,

где – масса тела; – скорость центра масс тела; – момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс; – угловая скорость тела.

Лабораторная работа № 103

Определение моментов инерции тел на приборе Обербека

Цель работы: определение момента инерции тела на приборе Обербека.

Оборудование: экспериментальная установка, секундомер.

Теоретическая часть

Маятник Обербека (рис. 1) состоит из шкива радиуса и четырёх крестообразно расположенных тонких стержней, укреплённых на одной горизонтальной оси. По стержням можно перемещать и закреплять в нужном положении четыре дополнительных груза одинаковой массы Маятник приводится во вращательное движение при помощи груза массы , прикреплённого к шнуру, намотанному на шкив.

Рис. 1

При разматывании нити груз опускается, пройдя расстояние , измеряемое по шкале. Определив время падения, можно найти ускорение, с которым падает груз:

. (1)

Запишем второй закон Ньютона для груза в проекции на направление движения:

, (2)

где – сила тяжести; – сила натяжения нити.

На шкив действует сила , под действием которой он совершает вращение с угловым ускорением

. (3)

Поскольку по третьему закону Ньютона , можно записать, что момент силы, вращающий шкив, равен

. (4)

Запишем основное уравнение динамики вращательного движения

, (5)

где - момент инерции вращающейся системы тел маятника Обербека.

Подставляя в уравнение (5) из (4) и из (3) , получаем

.

Учитывая, что радиус шкива равен половине его диаметра, т.е. , получаем окончательную формулу для вычисления момента инерции системы

. (6)

Для нахождения момента инерции грузиков необходимо найти момент инерции нагруженной системы и момент инерции ненагруженной системы :

= - . (7)

Порядок выполнения работы

Задание 1. Определение момента инерции нагруженной системы.

1. Насадить на крестовину (см. рис. 1) симметрично четыре груза на одинаковом расстоянии от центра (по заданию преподавателя).

2. Намотать нить на шкив так, чтобы груз находился на определённой высоте .

3. Занести в табл. 1 величины, указанные на установке ( , , ), а также и , и их абсолютные погрешности.

Таблица 1

	кг	кг	м	м	м	кг.м2	кг.м2	кг.м2	кг.м2

4. Отпустить груз и определить время падения его с заданной высоты. Измерения повторить несколько раз. Результаты занести в табл. 2.

Таблица 2

, с
Dt1, с
, с
Dt2, с
, с2

5. По формуле (6) по среднему значению времени определить момент инерции , результат занести в табл. 1.

Таблица 3

С	–	–	С	С	С	%

Задание 2. Определение момента инерции ненагруженнойсистемы.

1. Снять грузики с крестовины.

2. Намотать нить на шкив так, чтобы груз находился на той же высоте .

3. Отпустить груз и определить время падения . Измерения повторить несколько раз. Результаты занести в таблицу 2.

4. Произвести статистическую обработку времени по методу Стьюдента. Данные занести в табл. 2 и 3 (см. прил.).

5. По формуле (6) по среднему значению времени определить момент инерции , результат занести в табл. 1.

6. Вычислить относительную и абсолютную погрешности по формулам:

, (8)

. (9)

7. Занести значения погрешностей в табл. 1.

Задание 3. Определение момента инерции четырёх грузиков.

По формуле (7) определить момент инерции четырёх грузиков. Результат занести в табл. 1.

Задание 4. Теоретическое определение момента инерции грузиков.

1. Считая грузики материальными точками, рассчитать их момент инерции по формуле

. (10)

2. Занести результат в табл. 1.

3. Вычислить относительную и абсолютную погрешности по формулам:

;

.

4. Занести значения погрешностей в табл. 1.

5. Сравнить и . Для этого рассчитать погрешность по формуле:

.

Контрольные вопросы

1. Что называется моментом инерции материальной точки?

2. Что называется моментом инерции твёрдого тела? От чего он зависит?

3. Момент инерции тел простейшей формы относительно оси, проходящей через центр инерции.

4. Физический смысл момента инерции.

5. Что называется моментом силы?

6. Вывести рабочую формулу для определения момента инерции.

7. Записать основной закон динамики вращательного движения.

8. Теорема Штейнера.

9. Найти момент инерции однородного шара радиусом и массой относительно оси вращения, проходящей по касательной к поверхности шара.

10. Вывести формулу относительной погрешности для момента инерции.

Лабораторная работа № 104

Теоретическая часть

Маятник Обербека (рис. 1) состоит из шкива радиуса и четырёх крестообразно расположенных тонких стержней, укреплённых на одной горизонтальной оси. По стержням можно перемещать и закреплять в нужном положении четыре дополнительных груза одинаковой массы . Маятник приводится во вращательное движение при помощи груза массы , прикреплённого к шнуру, намотанному на шкив.

Рис. 1

При разматывании нити груз опускается, пройдя расстояние , измеряемое по шкале. Определив время падения, можно найти ускорение, с которым падает груз:

. (1)

Запишем второй закон Ньютона для груза в проекции на направление движения:

, (2)

где – сила тяжести; – сила натяжения нити.

На шкив действует сила , под действием которой он совершает вращение с угловым ускорением

. (3)

Поскольку по третьему закону Ньютона , можно записать, что момент силы, вращающий шкив, равен

. (4)

Запишем основное уравнение динамики вращательного движения

, (5)

где – момент инерции вращающейся системы тел маятника Обербека.

Подставляя в уравнение (5) из (4) и из (3) , получаем

.

Учитывая, что радиус шкива равен половине его диаметра, т.е. , получаем окончательную формулу для вычисления момента инерции системы:

. (6)

Порядок выполнения работы

1. Установить на крестовине (см. рис. 1) симметрично четыре груза на минимальном расстоянии от оси вращения. Занести значение в табл. 1.

2. Намотать нить на шкив так, чтобы груз находился на определённой высоте . Занести значение в табл. 2.

3. Отпустить груз и определить время падения его с заданной высоты. Измерения повторить несколько раз. Результаты занести в табл. 1.

4. Занести в табл. 2 величины, указанные на установке ( , ) и их абсолютные погрешности.

5. Посчитать по формуле (6) момент инерции системы . Результат занести в таблицу 2.

6. Повторить пп. 1–3,5 для других расстояний – по заданию преподавателя.

7. Построить график зависимости момента инерции от расстояния : .

8. Произвести статистическую обработку времени по методу Стьюдента, заполнив табл. 3 и 4 (см. прил.).

9. Посчитать относительную и абсолютную погрешности для по формулам

, (8)

. (9)

10. Занести значения погрешностей в табл. 2.

Таблица 1

№ п/п
	м	с	м	с	м	с	м	с	м	с
Ср.

Таблица 2

	кг	м	м	кг.м2	кг.м2	кг.м2	кг.м2	кг.м2

Таблица 3

, с
Dt1, с
, с2

Таблица 4

С	–	–	С	С	С	%

Контрольные вопросы

1. Что называется моментом инерции материальной точки?

2. Что называется моментом инерции твёрдого тела? От чего он зависит?

3. Момент инерции тел простейшей формы относительно оси, проходящей через центр инерции.

4. Физический смысл момента инерции.

5. Что называется моментом силы?

6. Вывести рабочую формулу для определения момента инерции.

7. Записать основной закон динамики вращательного движения.

8. Теорема Штейнера.

9. Найти момент инерции однородного стержня массой и длиной относительно оси, проходящей на расстоянии от его конца.

10. Вывести формулу относительной погрешности для момента инерции.

Лабораторная работа №105

На машине Атвуда

Цель работы: экспериментально определить ускорение свободного падения.

Оборудование: машина Атвуда ФПН02-ПС, набор основных и дополнительных грузиков, электронный секундомер.

Теоретическая часть

Свободным падениемназывается движение, которое совершало бы тело только под действием силы тяжести. Такое движение может быть, например, в трубке, из которой выкачали воздух. При свободном падении тела с небольшой высоты от поверхности Земли (, где– радиус Земли) оно движется с постоянным ускорением , направленным по вертикали вниз.

Ускорение называется ускорением свободного падения. Оно одинаково для всех тел и зависит лишь от высоты над уровнем моря и от географической широты на поверхности Земли. Ускорение максимально на полюсах и минимально на экваторе Земли.

Впервые ускорение свободного падения было экспериментально определено итальянским физиком Г. Галилеем.

Порядок выполнения работы

Задание 1. Определение ускорения свободного падения с учетом момента инерции блока.

1. Перекинуть нить с двумя грузам через блок и при необходимости отрегулировать положение основания таким образом, чтобы груз с перегрузком проходил по середине рабочего окна фотодатчика.

2. Включить в сеть шнур питания секундомера.

3. Привести подвижную систему (грузы на нити) в исходное положение, т.е. установить правый груз в верхнее положение.

4. Нажать на кнопку "Сеть" секундомера, при этом сработает электромагнит и блок потеряет возможность вращаться.

5. Положить на правый груз перегрузок известной массы .

6. Определить пройденный путь правого груза по шкале как расстояние от верхнего до нижнего положений и занести в табл. 3.

7. Нажать на кнопку "Пуск" секундомера и определить время, в течение которого груз проходит расстояние . Опыт повторить не менее 5 раз. Результаты занести в табл. 1.

8. Произвести статистическую обработку времени и заполнить табл. 1 и 2.

9. Заполнить табл. 3 (масса грузов , перегрузка и указаны на установке).

10. По формуле (5) по среднему значению времени рассчитать ускорение движения грузов. Занести в табл. 3.

11. По формуле (6) по среднему значению времени определить ускорение свободного падения с учетом момента инерции блока. Занести в табл. 3.

12. Относительную и абсолютную погрешности при определении ускорения свободного падения найти по формулам:

,

.

13. По формулам (7) и (8) определить силы натяжения нити. Результаты записать в табл. 3.

14. Относительные и абсолютные погрешности при определении сил натяжения найти по формулам:

,

,

,

.

Результаты записать в табл. 3.

Задание 2. Определение ускорения свободного падения без учета момента инерции блока.

1. Используя данные табл. 1 и 3, по формуле (9) по среднему значению времени найти ускорение свободного падения , занести в табл. 3.

2. Относительную и абсолютную погрешности при определении ускорения свободного падения найти по формулам:

,

.

3. Сравнить результаты, полученные по формулам (6) и (9), рассчитать погрешность по формулам:

, ,

где ; – ускорение свободного падения, вычисленное по формуле (6); – ускорение свободного падения, вычисленное по формуле (9).

4. Сделать вывод.

Таблица 1

,
Dt,
,

Таблица 2

	–	–				%

Таблица 3

Контрольные вопросы

1. Что называется свободным падением тела?

2. От каких факторов зависит ускорение свободного падения?

3. Сформулировать законы Ньютона.

4. Записать закон всемирного тяготения.

5. Записать основной закон динамики вращательного движения.

6. Что называется моментом инерции материальной точки, твердого тела?

7. Что характеризует момент инерции и от каких факторов он зависит.

8. Теорема Штейнера.

9. Найти момент инерции однородного стержня массой и длиной относительно оси, проходящей на расстоянии от его конца.

Лабораторная работа №106

Теоретическая часть

Если маятник массы опускается с высоты , а поднимается на высоту , то можно сказать, что часть его потенциальной энергии расходуется на работу против сил трения, т.е.

. (1)

Из этого уравнения получаем выражение для вычисления силы трения:

. (2)

С другой стороны, потенциальная энергия маятника в верхней точке ( ) превращается в нижней точке в кинетическую энергию поступательного движения ( ), вращательного движения ( ) и в работу против сил трения ( ), т.е.

. (3)

Решаем совместно уравнения (1)–(3), учитывая, что и , где – линейная скорость движения маятника; – его угловая скорость вращения; – радиус оси, на которую наматывается нить; – время движения маятника до нижней точки.

Получаем выражение для момента инерции маятника Максвелла с учётом силы трения:

.(4)

Если рассмотреть идеальный вариант, т.е., когда , то , и мы получаем выражение для момента инерции маятника Максвелла без учёта силы трения:

. (5)

ПРИЛОЖЕНИЕ

Содержание

Краткая теория………………………………………………………………………………….
Лабораторная работа № 103. Определение моментов инерции тел на приборе Обербека……………………………………………………………….
Лабораторная работа № 104. Определение зависимости момента инерции системы от распределения массы относительно оси вращения………………………………………………………………………………..
Лабораторная работа № 105. Определение ускорения свободного падения на машине Атвуда………………………………………………………
Лабораторная работа № 106. Изучение динамики вращательного движения с помощью маятника Максвелла………………………………
Приложение ……………………………………………………………………………………..

Редактор Е.В. Хейгетян

В печать 01.03.2017.

Формат 60х84/16. Объем 1,8 усл. п. л.

Тираж 40. Заказ № 95. Цена свободная

Издательский центр ДГТУ

Адрес университета и полиграфического предприятия:

344000, г. Ростов-на-Дону, пл. Гагарина,1.

Краткая теория

Моментом инерции материальной точки называется скалярная величина, равная произведению массы точки на квадрат расстояния от точки до оси вращения:

.

Моментом инерции твердого теланазывается сумма моментов инерции материальных точек, из которых состоит тело:

.

Момент инерции –это мера инертности при вращательном движении (в этом состоит физический смысл момента инерции).

Теорема Штейнера