Сложение гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты

Пусть надо сложить два колебания, которые определяются уравнениями

Представим каждое колебание в виде вектора и найдем по правилам сложения векторов результирующий вектор (рис. 3.4).

Рис.3.4

Результирующее колебание равно сумме складываемых колебаний, т. е.

Так как угловая скорость ω₀ у складываемых векторов одинакова, то результирующий вектор тоже вращается со скоростью ω₀. Тогда уравнение результирующего колебания имеет вид

Результирующую амплитуду можно найти по теореме косинусов

По формулам приведения в тригонометрии

Тогда квадрат результирующей амплитуды равен

Результирующая амплитуда равна

Начальная фаза результирующего колебания находится из выражения для тангенса угла α:

Значение угла α можно найти из следующего равенства

Проанализируем выражение для амплитуды (3.17). Это выражение показывает, что значение амплитуды результирующего колебания зависит от разности фаз складываемых колебаний.

Если разность фаз (α₂ - α₁) = 2nπ, где n = 0, 1, 2, ..., то A = A₁ + A₂ - это максимальное значение для результирующей амплитуды. Если разность фаз (α₂ - α₁) = (2n+1)π, где n = 0, 1, 2, ..., то A = A₁ - A₂ - это минимальное значение амплитуды. Следовательно, колебания в зависимости от разности фаз могут усиливать или ослаблять друг друга. Этот важный вывод используется при описании интерференции волн.

Задания и вопросы для самоконтроля

1. Что называется колебаниями?

2. Дайте определение периода, частоты, фазы, циклической частоты, амплитуды.

3. Какие колебания называются гармоническими?

4. Составьте дифференциальное уравнение гармонических колебаний на примере пружинного маятника.

5. Как вычислить скорость и ускорение гармонических колебаний?

6. От чего зависит энергия гармонических колебаний?

7. Как строится векторная диаграмма?

8. Как сложить два гармонических колебания одинакового направления и частоты? От чего зависит результирующая амплитуда?

Волны

Волновые процессы

Волной называется процесс распространения колебаний или других возмущений в пространстве.

Основными видами волн являются механические упругие волны, волны на поверхности жидкости и электромагнитные волны.

Упругими волнами называются волны, которые могут распространяться в упругой среде (т. е. среде, которая сопротивляется сжатию: твердой, жидкой и газообразной). К ним относятся, в частности, ударные, звуковые и сейсмические волны. Упругие волны называют также механическими волнами.

Электромагнитные волны могут распространяться как в среде, так и в вакууме (например, радиоволны, световые волны).

Характерным свойством волн является перенос энергии без переноса вещества. Например, по некошенному полю пшеницы от порывов ветра распространяется волна. При этом колосья колеблются около своих положений равновесия, а волна идет по всему полю.

Рассмотрим этот процесс более подробно. Частицы среды, в которой распространяется волна, колеблются около своих положений равновесия. В зависимости от направления колебаний частиц среды по отношению к направлению распространения волны различают волны продольные и поперечные.

В продольной волне частицы колеблются вдоль направления распространения волны, в поперечной волне колебания частиц совершаются перпендикулярно направлению распространения волны. В жидкой и газообразной среде возможно распространение только продольных волн, в твердой среде - как продольных, так и поперечных.