Тема 1. Потоки платежей

Проведение практически любой финансовой операции порождает движение денежных средств. Такое движение может характеризоваться возникновением отдельных платежей, или множеством выплат и поступлений, распределенных во времени.

В финансовой практике зачастую контракты предусматривают не отдельные разовые платежи, а серию платежей, распределенных во времени (регулярные выплаты). Например, погашение долгосрочного кредита, вместе с начисленными на него процентами; периодические взносы на расчетный счет, на котором формируется некоторый фонд различного назначения (инвестиционный, пенсионный, страховой, резервный, накопительный и т.д.); дивиденды, выплачиваемые по ценным бумагам; выплаты пенсий из пенсионного фонда и пр.

Поток платежей (cash flow – Тема 1. Потоки платежей - student2.ru ) представляет собой ряд последовательных во времени выплат и поступлений Тема 1. Потоки платежей - student2.ru , Тема 1. Потоки платежей - student2.ru , …, Тема 1. Потоки платежей - student2.ru .

Потоки платежей являются неотъемлемой частью всевозможных финансовых операций: с ценными бумагами, в управлении финансами предприятий, при осуществлении инвестиционных проектов, в кредитных операциях, при оценке бизнеса, при оценке недвижимости, выборе альтернативных вариантов финансовых операций и т.п.

Члены потока могут быть как положительными величинами (поступления), так и отрицательными величинами (выплатами), а временные интервалы между членами такого потока могут быть равными и неравными.

Поток платежей, все члены которого имеют одинаковое направление (знак), а временные интервалы между последовательными платежами постоянны, называется финансовой рентой или аннуитетом.

При рассмотрении финансовой ренты используются основные категории:

- член ренты ( Тема 1. Потоки платежей - student2.ru ) – величина каждого отдельного платежа;

- период ренты ( Тема 1. Потоки платежей - student2.ru ) – временной интервал между членами ренты;

- срок ренты ( Тема 1. Потоки платежей - student2.ru ) – время от начала финансовой ренты до конца последнего ее периода;

- процентная ставка ( Тема 1. Потоки платежей - student2.ru ) – ставка, используемая при наращении платежей, из которых состоит рента;

- наращенная сумма ( Тема 1. Потоки платежей - student2.ru ) – сумма долга на какой-либо момент в будущем;

- современная стоимость ( Тема 1. Потоки платежей - student2.ru ) – современная величина потока платежей.

При определении члена ренты возможны два варианта, зависящие от того, какая величина является исходной:

а) наращенная сумма. Если сумма долга определена на какой-либо момент в будущем, тогда величину последующих взносов в течение k лет при начислении на них процентов по ставке n можно определить по формуле:

Тема 1. Потоки платежей - student2.ru , (1)

б) известна современная величина финансовой ренты, тогда, исходя из ставки процента и срока ренты, разовый платеж находится по формуле:

Тема 1. Потоки платежей - student2.ru . (2)

Как известно, погашение займа осуществляется за счет платежей, состоящих из части основного долга (суммы кредита) и процентов. Но рассчитываться размер этих платежей может по-разному.

В финансовой практике наиболее часто встречаются так называемые простые или обыкновенные аннуитеты (ordinary annuity, regular annuity), которые предполагают получение или выплаты одинаковых по величине сумм на протяжении всего срока операции в конце каждого периода (года, полугодия, квартала, месяца и т.д.).

Простой аннуитет обладает двумя важными свойствами:

- все его элементы равны между собой;

- отрезки между выплатой/поступлением сумм Тема 1. Потоки платежей - student2.ru одинаковы.

Если рассматривать кредитные отношения, то за аннуитетный платеж будем считать равный по сумме ежемесячный платеж по кредиту, который включает в себя сумму начисленных процентов за кредит и сумму основного долга.

Расчёт аннуитетного платежа можно производить по формуле (2), в этом случае вводится обозначение:

Тема 1. Потоки платежей - student2.ru – размер ежемесячного аннуитетного платежа по кредиту;

Тема 1. Потоки платежей - student2.ru – сумма кредита;

Тема 1. Потоки платежей - student2.ru – процентная ставка в долях за период (месяц);

Тема 1. Потоки платежей - student2.ru – количество месяцев, на которые берётся кредит.

Другим не менее распространенным способом погашения ссуды сегодня являются дифференцированные платежи, размер которых каждый месяц будет разным и постепенно уменьшающимся. Основной долг при этом делится на количество месяцев действия кредита и уплачивается равными долями. Проценты начисляются на остаток задолженности, за счет чего их сумма всегда уменьшается.

Таким образом, основное отличие между аннуитетом и дифференцированными взносами заключается в том, изменяется ли сумма ежемесячного платежа по кредиту или остается постоянной на протяжении всего срока займа.

В случае дифференцированных платежей величина погашения долга определяется следующим образом:

Тема 1. Потоки платежей - student2.ru , (3)

где Тема 1. Потоки платежей - student2.ru – величина погашения основной суммы долга;

Тема 1. Потоки платежей - student2.ru – первоначальная сумма кредита;

Тема 1. Потоки платежей - student2.ru – количество периодов (месяцев), на которые берётся кредит;

Проценты начисляются на уменьшаемую сумму основного долга:

Тема 1. Потоки платежей - student2.ru , (4)

где Тема 1. Потоки платежей - student2.ru – величина погашения процентов по кредиту за Тема 1. Потоки платежей - student2.ru -ый месяц;

Тема 1. Потоки платежей - student2.ru – остаток ссудной задолженности (суммы обязательства) на начало Тема 1. Потоки платежей - student2.ru -го месяца;

Тема 1. Потоки платежей - student2.ru – процентная ставка в долях за период (месяц), равная 1/12 от годовой процентной ставки, установленной на сумму кредита;

Тема 1. Потоки платежей - student2.ru .

Тогда величина дифференцированного платежа по кредиту по каждому месяцу определяется как сумма уплачиваемых процентов и сумма погашения основного долга:

Тема 1. Потоки платежей - student2.ru , (5)

где Тема 1. Потоки платежей - student2.ru – размер дифференцированного платежа по кредиту за Тема 1. Потоки платежей - student2.ru -ый месяц, Тема 1. Потоки платежей - student2.ru .

В финансовых операциях возможны ситуации, когда выплаты по кредиту производятся в сумме, большей установленного аннуитета. В таких случаях говорят о частичном досрочном погашении кредита. При этом кредитный договор с банком позволяет уменьшить либо размер ежемесячного аннуитетного платежа, либо срок кредитования.

Рассмотрим оба варианта развития событий в случае частичного досрочного погашения кредита.

1. Уменьшение размера ежемесячного аннуитетного платежа (без изменения срока кредитования).

Для определения новой суммы аннуитета достаточно подставить в формулу аннуитета новое значение суммы кредита (остаток после погашения) и срок, оставшийся до погашения кредита.

2. Уменьшение срока кредитования (без изменения размера ежемесячного аннуитетного платежа).

Новый срок кредитования (с момента частичного досрочного погашения кредита) можно определить по формуле:

Тема 1. Потоки платежей - student2.ru , (6)

где Тема 1. Потоки платежей - student2.ru – новый срок кредитования (с момента частичного досрочного погашения кредита);

Тема 1. Потоки платежей - student2.ru – остаток ссудной задолженности (суммы кредита) после частичного досрочного погашения в Тема 1. Потоки платежей - student2.ru -ый месяц;

Тема 1. Потоки платежей - student2.ru – процентная ставка в долях за период (месяц), равная 1/12 от годовой процентной ставки, установленной на сумму кредита;

Тема 1. Потоки платежей - student2.ru – размер ежемесячного аннуитетного платежа по кредиту.

Замечание. Значение Тема 1. Потоки платежей - student2.ru всегда округляется в сторону увеличения, т.е. если Тема 1. Потоки платежей - student2.ru , то принимаем Тема 1. Потоки платежей - student2.ru .

Задание

На приобретение квартиры взят кредит на 3 года в размере 500 тыс. руб. под 12% годовых. Проценты по кредиту начисляются ежемесячно на остаток долга.

Необходимо:

1. Определить размер ежемесячного аннуитетного платежа по кредиту.

2. Составить в Microsoft Excel график аннуитетных платежей.

3. Определить общую сумму начисленных процентов.

4. Составить в Microsoft Excel график погашения кредита при условии, что основная сумма долга погашается равными частями, и сравнить суммы начисленных процентов при дифференцированных и аннуитетных платежах.

5. Составить в Microsoft Excel график аннуитетных платежей при условии частичного досрочного погашения кредита (без каких-либо ограничений по сумме и штрафов), если 26-ой платеж составляет 50 тыс.руб., а кредитный договор с банком позволяет уменьшить:

а) размер ежемесячного платежа;

б) срок кредитования.

6. Ответить на вопрос: «Как изменится общая сумма выплат в случае частичного досрочного погашения кредита?»

Решение.

1. Размер ежемесячного аннуитетного платежа по кредиту определим двумя способами.

1 способ. Используя формулу (2) для расчета ежемесячного аннуитетного платежа, получим

Тема 1. Потоки платежей - student2.ru руб.

Таким образом, ежемесячно необходимо будет возвращать сумму 16 607,15 руб.

2 способ. Выполним расчеты с использованием Microsoft Excel.

Создадим новую книгу в Microsoft Excel и назовем ее «Потоки платежей». Введем в ячейки A1:B4 листа 1 книги «Потоки платежей» исходные данные, как на рис. 1.

Тема 1. Потоки платежей - student2.ru

Рис. 1. Ввод исходных данных задачи 1

Далее для вычисления размера ежемесячного аннуитетного платежа по кредиту выполним следующие действия:

а) в ячейку А6 ввести текст «CF»;

б) выделить ячейку В6 и выполнить команду «Вставка»/«Функция», в открывшемся окне Мастера функции выбрать категорию «Финансовые», функцию ПЛТ(). Данная функция возвращает сумму периодического платежа для аннуитета на основе постоянства сумм платежей и постоянства процентной ставки;

в) заполнить поля функции ПЛТ согласно рис. 2: в поле «Ставка» указывается процентная ставка в долях за месяц, равная 1/12 от годовой процентной ставки, установленной в ячейкеВ4, в поле «Кпер» – общее количество месяцев выплат по кредиту, равное произведению, в поле «Пс» – сумма кредита.

Тема 1. Потоки платежей - student2.ru

Рис. 2. Окно аргументов функции ПЛТ

Результат расчета величины отдельного аннуитетного платежа с использованием встроенной функции ПЛТ в Microsoft Excel представлен на рис. 3.

Тема 1. Потоки платежей - student2.ru

Рис. 3. Результат вычисления по функции ПЛТ

Полученное значение отрицательно, поскольку оно представляет собой величину ежемесячного платежа по кредиту. Абсолютное значение аннуитета, рассчитанного с помощью функции ПЛТ в Microsoft Excel, совпадает со значением, найденным по формуле (2).

2. В финансовых операциях зачастую требуется вычисление обобщающих характеристик по каждому платежу и последующему их суммированию.

В этом случае для расчета аннуитетного платежа по кредиту по каждому месяцу удобно использовать формулу (2),
где Тема 1. Потоки платежей - student2.ru – размер аннуитетного платежа по кредиту за Тема 1. Потоки платежей - student2.ru -ый месяц;

Тема 1. Потоки платежей - student2.ru – остаток ссудной задолженности (суммы обязательства) на начало Тема 1. Потоки платежей - student2.ru -го месяца;

Тема 1. Потоки платежей - student2.ru – процентная ставка в долях за период (месяц), равная 1/12 от годовой процентной ставки, установленной на сумму кредита;

Тема 1. Потоки платежей - student2.ru – количество процентных периодов (месяцев), оставшихся до окончательного погашения ссудной задолженности (суммы обязательства).

С помощью Microsoft Excel составим график аннуитетных платежей (т.е. график погашения кредита) для рассматриваемой задачи.

Для этого на листе 1 книги «Потоки платежей» Microsoft Excel создадим таблицу как на рис. 4.

В ячейку С11 таблицы введем формулу (2) для определения размера аннуитетного платежа, в ячейку Е11 – формулу для определения размера платежа в погашение процентов, как произведение остатка по кредиту к моменту Тема 1. Потоки платежей - student2.ru -го платежа на процентную ставку в долях за месяц, в ячейку D11 – формулу для определения размера платежа в погашение долга, как разницу между величиной аннуитета и размером платежа в погашение процентов по кредиту (рис. 4). В ячейку F11 вводим формулу для определения остатка задолженности по кредиту после платежа, как разницу между остатком по кредиту к моменту Тема 1. Потоки платежей - student2.ru -го платежа и размером Тема 1. Потоки платежей - student2.ru -го платежа в погашение долга (рис. 4).

Тема 1. Потоки платежей - student2.ru

Рис 4. Ввод формул в таблицу погашения кредита по аннуитетной схеме

Далее скопируем формулы в ячейках С11:F11 до конца таблицы и добавим итоговую строку (рис. 5).

Тема 1. Потоки платежей - student2.ru

Рис. 5. Составление графика аннуитетных платежей по кредиту

В результате получим следующий график аннуитетных платежей по кредиту:

Тема 1. Потоки платежей - student2.ru

Рис. 6. График аннуитетных платежей по кредиту (результат вычислений)

В этой таблице можно увидеть все текущие параметры кредита – размер аннуитетного платежа, его части, идущие в погашение долга и процентов, а также остаток задолженности по кредиту после каждого платежа.

Из таблицы видно, что ежемесячная сумма платежа по процентам из месяца в месяц уменьшается, а ежемесячная сумма платежа по основному долгу – увеличивается.

В случае аннуитетной схемы погашения кредита за 3 года банку будет выплачено всего 597 857,58 руб. (итоговое значение по столбцу «Аннуитетный платеж» на рис. 6).

3. Общую сумму начисленных процентов можем увидеть в итоговой строке по соответствующему столбцу построенного графика аннуитетных платежей (рис. 6).

Итак, за 3 года банку будет выплачено процентов на сумму 97 857,58 руб.

4. Составим в Microsoft Excel график погашения кредита при условии, что основная сумма долга погашается равными частями (дифференцированные платежи).

Для этого на листе 2 книги «Потоки платежей» Microsoft Excel введем в ячейки A1:B4 исходные данные, как на рис. 1.

Далее создадим таблицу согласно рис. 7.

В ячейку D9 таблицы введем формулу (3) для определения размера платежа в погашение долга, в ячейку Е9 – формулу для определения размера платежа в погашение процентов, как произведение остатка по кредиту к моменту Тема 1. Потоки платежей - student2.ru -го платежа на процентную ставку в долях за месяц, в ячейку C9 – формулу для определения размера дифференцированного платежа по кредиту, как сумму соответствующих платежей в погашение процентов и в погашение долга (рис. 7). В ячейку F9 вводим формулу для определения остатка задолженности по кредиту после платежа, как разницу между остатком по кредиту к моменту Тема 1. Потоки платежей - student2.ru -го платежа и размером Тема 1. Потоки платежей - student2.ru -го платежа в погашение долга (рис. 7).

Тема 1. Потоки платежей - student2.ru

Рис. 7. Ввод формул в таблицу погашения кредита по дифференцированной схеме

Далее скопируем формулы в ячейках С9:F9 до конца таблицы и добавим итоговую строку (рис. 8).

Тема 1. Потоки платежей - student2.ru

Рис. 8. Составление графика дифференцированных платежей по кредиту

В результате получим следующий график дифференцированных платежей по кредиту:

Тема 1. Потоки платежей - student2.ru

Рис. 9. График дифференцированных платежей по кредиту
(результат вычислений)

В этой таблице можно увидеть все текущие параметры кредита – размер дифференцированного платежа по каждому месяцу, его части, идущие в погашение долга и процентов, а также остаток задолженности по кредиту после каждого платежа. Из таблицы видно, что ежемесячная сумма платежа, также как и ежемесячная сумма платежа по процентам, из месяца в месяц уменьшается. Общую сумму начисленных процентов и общую сумму выплат можем увидеть в итоговой строке по соответствующим столбцам построенного графика дифференцированных платежей (рис. 9).

Итак, в случае дифференцированной схемы погашения кредита за 3 года банку будет выплачено всего 592 500,00 руб., из которых процентов – на сумму 92 500,00 руб.

Если сравнить графики платежей по аннуитетной (рис. 6) и дифференцированной (рис. 9) схемам, видим, что размер аннуитетных платежей будет меньше в начале срока погашения, примерно в середине графика они сравняются, но затем сумма дифференцированных начнет уменьшаться, а сумма аннуитетных так и останется неизменной.

Сравнивая суммы начисленных процентов по рассматриваемым схемам, приходим к выводу, что меньшая сумма процентов по кредиту выплачена по дифференцированной схеме, эта разница составляет 5 357,58 руб.

5. Рассмотрим случай частичного досрочного погашения кредита, когда 26-ой платеж составляет 50 000 руб., если кредитный договор с банком позволяет уменьшить размер ежемесячного аннуитетного платежа (без изменения срока кредитования).

Для определения новой суммы аннуитета необходимо на листе 1 книги «Потоки платежей» Microsoft Excel в ячейку С36, соответствующую 26-ому платежу по кредиту, внести значение 50 000. В результате по формулам пересчитывается сумма аннуитета, которую необходимо будет выплачивать в последующие месяцы (рис. 10).

Тема 1. Потоки платежей - student2.ru

Рис. 10. Пересчет аннуитета в случае частичного досрочного погашения кредита (при условии уменьшения аннуитета)

В результате получен новый график при частичном досрочном погашении кредита (в случае, когда кредитный договор с банком позволяет уменьшить размера аннуитетного платежа). По новому графику за 3 года банку будет выплачено 595 993,56 руб., из которых процентов – на сумму 95 993,56 руб. (рис. 10).

Теперь рассмотрим случай, когда при частичном досрочном погашении кредитный договор с банком позволяет уменьшить срок кредитования (без изменения размера ежемесячного аннуитетного платежа).

Для этого на листе 3 книги «Потоки платежей» Microsoft Excel введем в ячейки A1:B4 исходные данные, как на рис. 1.

Далее создадим таблицу согласно рис. 11.

В ячейку С11 таблицы введем формулу для определения размера аннуитетного платежа с помощью встроенной функции ПЛТ в Microsoft Excel, в ячейку Е11 – формулу для определения размера платежа в погашение процентов, как произведение остатка по кредиту к моменту Тема 1. Потоки платежей - student2.ru -го платежа на процентную ставку в долях за месяц, в ячейку D11 – формулу для определения размера платежа в погашение долга, как разницу между величиной аннуитета и размером платежа в погашение процентов по кредиту (рис. 11). В ячейку F11 вводим формулу для определения остатка задолженности по кредиту после платежа, как разницу между остатком по кредиту к моменту Тема 1. Потоки платежей - student2.ru -го платежа и размером Тема 1. Потоки платежей - student2.ru -го платежа в погашение долга (рис. 11).

Тема 1. Потоки платежей - student2.ru

Рис. 11. Ввод формул в таблицу погашения кредита по аннуитетной схеме в случае частичного досрочного погашения кредита
(при условии уменьшения аннуитета)

Далее скопируем формулы в ячейках С9:F9 до конца таблицы и добавим итоговую строку (рис. 12).

Тема 1. Потоки платежей - student2.ru

Рис. 12. Составление графика аннуитетных платежей по кредиту в случае частичного досрочного погашения (при условии уменьшения аннуитета)

В результате получим следующий график аннуитетных платежей по кредиту:

Тема 1. Потоки платежей - student2.ru

Рис. 13. График аннуитетных платежей по кредиту
(результат вычислений)

На рис. 13 получили тот же график аннуитетных платежей, что и на рис. 6. Далее на листе 3 в ячейку С34, соответствующую 26-ому платежу по кредиту, вносим значение 50 000, тогда в ячейке F34 пересчитается остаток по кредиту после частичного досрочного погашения в 26-ой месяц. Он составляет 123 898,58 руб. (рис. 14).

Тема 1. Потоки платежей - student2.ru

Рис. 14. Пересчет остатка по кредиту после частичного досрочного погашения (при условии уменьшения аннуитета)

Тогда новый срок кредитования (с момента частичного досрочного погашения кредита) определим по формуле (6):

Тема 1. Потоки платежей - student2.ru .

Это означает, что последним платежом по кредиту будет 34-ый платеж (поскольку 26+8=34). Тогда содержимое ячеек С43:F44 мы удаляем, в связи с сокращением срока платежа по кредиту. Ячейка D42 (столбец «В погашение долга»), соответствующая 34-му платежу, будет равна остатку по кредиту на начало текущего месяца, для этого изменим формулу в этой ячейке на следующую: «=F41». Ячейка же С42 будет соответствовать сумме платежей в погашение долга и процентов, для этого изменим формулу в этой ячейке на следующую: «=D42+E42».

В результате пересчитывается остаток по кредиту после 34-го платежа, который составит нулевое значение рис. 15.

Тема 1. Потоки платежей - student2.ru

Рис. 15. Новый график аннуитетных платежей после частичного досрочного погашения кредита (при условии уменьшения срока кредитования)

В результате получен новый график при частичном досрочном погашении кредита (в случае, когда кредитный договор с банком позволяет уменьшить срок кредитования). По этому графику за 3 года банку будет выплачено 594 599,10 руб., из которых процентов – на сумму 94 599,10 руб. (рис. 15).

6. Общую сумму выплат можем увидеть в итоговых строках по соответствующему столбцу построенных графиков анниутетных платежей (рис. 6, рис. 10 и рис. 15).

Итак, в случае аннуитетной схемы погашения кредита за 3 года банку (без досрочного погашения) будет выплачено всего 597 857,58 руб. (рис. 6).

В случае частичного досрочного погашения кредита при условии уменьшения аннуитетного платежа общая сумма выплат составит 595 993,56 руб. (рис. 10), что в свою очередь меньше общей суммы выплат по графику на 1 864,02 руб.

В случае же частичного досрочного погашения кредита при условии уменьшения срока кредитования общая сумма выплат составит 594 599,10 руб. (рис. 15), что в свою очередь меньше общей суммы выплат по графику на 3 258,48 руб., и меньше общей суммы выплат в случае частичного досрочного погашения кредита при условии уменьшения аннуитетного платежа на 1 394,46 руб.

Наши рекомендации