Предельные теоремы в схеме Бернулли.

Итак, мы рассматривает вопрос о вероятности некоторого числа успехов в серии испытаний Бернулли заданной длины. Для нахождения этой вероятности мы используем формулу Бернулли. Рассмотрим теперь такую задачу:

Вероятность появления события А в каждом из 900 независимых испытаний равна р = 0,8. Найти вероятность того, что событие А про изойдет: а) 750 раз; б) Число успехов будет в промежутке от 700 до 750 раз. Очевидно, что использование формулы Бернулли здесь затруднительно.

Трудности возрастают, когда приходится суммировать вероятности для ответа на второй вопрос.

Определение 19.2.1. В отдельных случаях при больших n удается заменить формулу Бернулли приближенными формулами. Такие формулы, которые получаются при условии , называются, асимптотическими. Соответствующие утверждения называют Предельными теоремами в схеме Бернулли. Мы рассмотрим три таких теоремы: Локальную и интегральную теоремы Муавра-Лапласа и теорему Пуассона.

Замечание 19.2.1. Теоремы, которые теперь носят имя Муавра и Лапласа были доказаны этими учеными независимо, А.де Муавр доказал эти утверждения несколько раньше, но его результаты оставались неизвестными и были обнародованы относительно недавно. Поэтому в разных учебниках эти теоремы могут называться теоремами Лапласа, Муавра-Лапласа, Муавра или просто предельными теоремами в схеме Бернулли.

Локальная терема Муавра-Лапласа.

1)Теорема применяется при достаточно большом числе испытаний. Чем больше n, тем лучше формула теоремы приближает формулу Бернулли.

2)p и q постоянны в каждом испытании

3)успехов достаточно много, их число растет с ростом n, их вероятность достаточна велика, чем ближе вероятность успеха к ½ , тем лучше приближение к формуле Бернулли

Итак, при выполнении указанных условий вероятность того, что в n испытаниях окажется ровно х успехов приблизительно равно

, где , а φ (t) – функция Гаусса.

Здесь: n – число испытаний, х – число успехов

np - (статистически) среднее значение числа появлений х события А при n испытаниях, x–np – соответствующее отклонение

корень из npq – масштабирующий множитель, t – отклонение числа появлений события А от его среднего значения, измеренное в этом масштабе.

Сделаем небольшое отступление и рассмотрим отдельно функцию Гаусса (ее иногда называют локальной функцией Лапласа)

φ (t) = .

Эта функция обладает следующими свойствами:

1) Функция Гаусса четная, т.е.φ(x)=φ(-x) и ее график, соответственно, симметричен относительно оси y.

2) С ростом (убыванием) х, функция достаточно быстро стремится к нулю. Уже при х=±3,99, φ(х) = 0,0001. При х >4 функция считается равной 0.

3) Для значений функции Гаусса существуют таблицы. Ввиду четности функции они составлены только для положительных значений аргумента..

Итак, чтобы определить вероятность того, что в 50 испытаниях по схеме Бернулли при p=0.45 событие А наступило 30 раз, нужно воспользоваться таблицей значений функции Гаусса, предварительно вычислив значение аргумента t по формуле

Пример 19.2.1. Вероятность поражения стрелком цели при одиночном выстреле р=0,2. Какова вероятность того, что при 100 выстрелах цель будет поражена ровно 20 раз?

Здесь p=0,2, q = 0,8, n = 100, x= 20, npq = 16

= (20-100×0,2):4 = 0

j(0) » 0,4 (точное табличное значение 0,3989)

Р₁₀₀ (20) » 0,4 × ¼ = 0,1

Значение вероятности оказывается маленьким, ведь попадание точно 20 раз при 100 выстрелах – событие достаточно редкое. А попадание «около 20 раз» - будет почти достоверным событием. Так, например, 15£ х £25, включающего 11 значений близка к 1 (можно проверить по формуле Бернулли для суммы по х от 15 до 25 Р₁₀₀ (x)

То есть верно Замечание19.2.1.

Значение конкретной вероятности P_n (x) достаточно мало. Значительно больше оказывается вероятность «около х» успехов, то есть числа успехов, принадлежащего некому промежутку, содержащему х.

Замечание 19.2.2. Так как при | t| ®∞ j(t) монотонно убывает, для одной и той же серии испытаний (n фиксировано) большие отклонения х – np менее вероятны чем меньшие. Это верно для достаточно больших n.

Теперь, допустим, мы хотим оценить вероятность того, что число успехов попадет в промежуток от m₁ до m₂ . Для этого сформулируем

Интегральную теорему Муавра-Лапласа.

Если:

1) Число испытаний n велико

2) Оценивается вероятность Р(m₁ ,m₂ ) попадания числа успехов х в промежуток от m₁ до m_2..

3) m₁ и m₂ растут с ростом n

4) вероятность успеха постоянна

Тогда выполняется

а

(функция Гаусса)

Иначе говоря, Р(m₁ ,m₂ ) = Ф₀(t_m2 ) – Ф₀(t_m1 ), где

- функция Лапласа.

Сделаем отступление и рассмотрим теперь функцию Лапласа отдельно.

Сформулируем свойства функции Лапласа:

1) Функция Лапласа нечетная, т.е. Φ(–t) = –Φ(t) и, соответственно, ее график симметричен относительно начала координат

2) Монотонно возрастающая

3) При х→∞ Φ→1/2, при x→ – ∞ Φ→ –1/2 , причем достаточно быстро: при х=5 Ф = 0,4(9). Поэтому при х >4 функция считается (приблизительно) равной ½

4) Существуют таблицы значений функции Лапласа, ввиду нечетности функции они составлены только для положительных значений х. Для того, чтобы воспользоваться табличными значениями функции Лапласа сначала необходимо вычислить значения аргументов

а затем найти по таблице значений функции Лапласа ее значения в этих точках.

Графиком функции Лапласа является кривая:

Пример 19.2.2. Игральную кость бросают 800 раз. Какова вероятность того, что число очков, кратное 3, выпадает не менее 280 и не более 294 раз?

Здесь

Пусть теперь в последовательности наших испытаний n достаточно велико, а p - величина очень малая и успехи редки. Тогда имеет место

Теорема Пуассона.

Асимптотическое представление P_n (x) через j(х) тем хуже, чем больше р отличается от ½ , а для случая p=0, q=1 вообще неприменимо. Однако большой круг задач связан именно с отысканием P_n (x) именно при малых значениях р.Для того, чтобы в этом случае теорема Муавра-Лапласа дала небольшую погрешность необходимо очень большое n, Поэтому требуется специальная формула, предназначенная специально для малых р, которая и приводится в теореме Пуассона:

Если

1) Число испытаний n велико

2) Мы интересуемся вероятностью P_n (x) числа успехов х в серии из n испытаний

3) р уменьшается с ростом n, т.е λ = np – константа(постоянная), т.е, рассматривается случай редких успехов.

Тогда выполняется

Замечание 19.2.3. Для указанной величины P_n (x) – функции Пуассона - также существуют таблицы.

Пример 19.2.3. Вероятность искажения одного символа при передаче сообщения по линии связи равна 0,001. Сообщение считают принятым, если в нем отсутствуют искажения. Найти вероятность того, что будет принято сообщение, состоящее из 20 слов по 100 символов каждое.

Предлагаемое сообщение содержит 2000 символов. Предполагая, что символы искажаются независимо, получаем схему Бернулли, в которой n=2000, p=0,001, x=0. λ = np=2. Тогда Р ₂₀₀₀(0) = 0,13534 (0! = 1)

Пример 19.2.4. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле 0,001. Найти вероятность попадания в цель двумя и более выстрелами, если производится 5000 выстрелов.

Искомая вероятность равна 1 - Р ₅₀₀₀(0) - Р ₅₀₀₀(1) »1 – е^-5 – 5е^-5 » 0,9596