Методика расчета линейных электрических цепей постоянного тока

АНАЛИЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ ЛИНЕЙНЫХ

И НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

ПОСТОЯННОГО ТОКА

Расчет линейных электрических цепей постоянного тока

Задание

Для электрической цепи (рис. 1.1-1.30) выполнить следующее:

1) составить на основании законов Кирхгофа систему уравнений для оп­ределения токов во всех ветвях схемы;

2) определить токи во всех ветвях схемы, используя метод контур­ных токов;

3) определить токи во всех ветвях схемы на основании метода нало­жения;

4) составить баланс мощностей для заданной схемы;

5) результаты расчетов токов по пунктам 2 и 3 представить в виде таблицы и сравнить;

6) определить ток во второй ветви методом эквивалентного генера­тора;

7) построить потенциальную диаграмму для любого замкнутого кон­тура,

включающего обе ЭДС.

Вариант задания определяют по табл. 1.1.

Таблица 1.1

Числовые параметры схем электрических цепей постоянного тока

№ варианта	E1 В	Е2 В	R1 Ом	R2 Ом	R3 Ом	R4 Ом	R5 Ом	R6 Ом	r01 Ом	r02 Ом

Примечание. Номер схемы соответствует порядковому номеру, под которым фамилия учащегося записана в журнале учебных занятий группы.

Числовые параметры схемы соответствуют последней цифре ее порядкового номера.

Варианты схем электрических цепей постоянного тока

Рис. 1.1 Рис. 1.2 Рис. 1.3

Рис. 1.4 Рис. 1.5 Рис. 1.6

Рис. 1.7 Рис. 1.8 Рис. 1.9

Рис. 1.10 Рис. 1.11 Рис. 1.12

Рис. 1.13 Рис. 1.14 Рис. 1.15

Рис. 1.16 Рис. 1.17 Рис. 1.18

Рис. 1.19 Рис. 1.20 Рис. 1.21

Рис. 1.22 Рис. 1.23 Рис. 1.24

Рис. 1.25 Рис. 1 26 Рис. 1.27

Рис. 1.28 Рис. 1.29 Рис. 1.30

Расчет нелинейных электрических цепей постоянного тока

Задание

Построить входную вольтамперную характеристику схемы нелиней­ной электрической цепи постоянного тока. Определить токи во всех ветвях схемы (рис. 1.31-1.36) и напряжения па отдельных элементах, используя полученные вольтамперные характеристики "а", "б" или "в" (см. рис. 1.37).

Вариант задания определяют по таблице 1.2.

Варианты схем нелинейных электрических цепей постоянного тока

Рис. 1.31 Рис. 1.32

Рис. 1.33 Рис. 1.34

Рис. 1.35 Рис. 1.36

Вольтамперные характеристики нелинейных элементов

Рис. 1.37

Таблица 1.2

Числовые параметры схем нелинейных электрических цепей постоянного тока

Номерварианта	Номер схемы	Tип характеристики	R3 Ом	R4 Ом	U В
нэ1	нэ2
	1.31	а	-
	1.32	а	б		-
	1.33	а			-
	1.32	а	в		-
	1.33	а	в		-
	1.34	а	-
	1.35	а	б		-
	1.36	а	б		-
	1.35	а	в		-
	1.36	а	в		-
	1.31	б	-
	1.32	б	а		-
	1.33	б	а		-
	1.32	б	в		-
	1.33	б	в		-
	1.34	б	-
	1.35	б	а		-
	1.36	б	а		-
	1.35	б	в		-
	1.36	б	в		-
	1.31	в	-
	1.32	в	а		-
	1.33	в	а		-
	1.32	в	б		-
	1.33	в	б		-
	1.34	в	-
	1.35	в	а		-
	1.36	в	а		-
	1.35	в	б		-
	1.36	в	б		-

Методика расчета линейных электрических цепей постоянного тока

Для электрической цепи, изображенной на рис. 1.38, выполнить сле­дующее:

1) составить на основании законов Кирхгофа систему уравнений для определения

токов во всех ветвях схемы;

2) определить токи во всех ветвях схемы, используя метод контур­ных токов;

3) определить токи во всех ветвях схемы на основании метода нало­жения;

4) составить баланс мощностей для заданной схемы;

5) результаты расчета токов по пунктам 2 и 3 представить в виде таблицы и сравнить;

6) определить ток во второй ветви методом эквивалентного генера­тора;

7) построить потенциальную диаграмму для любого замкнутого кон­тура,

включающего обе ЭДС.

Дано:

Е₁ = 40 В, Е₂ = 60 В, R₁ = 18 Ом, R₂ = 36 Ом,

R₃ = 16 Ом, R₄ = 24 Ом, R₅ = 40 Ом,

R₆ = 34 Ом, г₀₁ = 2 Ом, г₀₂ = 4 0м.

Определить:I₁, I₂, I₃, I₄, I₅.

Рис. 1.38

1) Составить систему уравнений, применяя законы Кирхгофа для определения токов во всех ветвях. Метод узловых и контурных уравнений основан на применении пер­вого и второго законов Кирхгофа. Он не требует никаких преобразований схемы и пригоден для расчета любой цепи. При расчете данным методом произвольно задаем направление токов в ветвях I₁, I₂, I₃, I₄, I₅. Составляем систему уравнений. В системе должно быть столько уравнений, сколько в цепиветвей (неизвестных токов).

В заданной цепи пять ветвей, значит, в системе должно быть пять уравнений (т = 5). Сначала составляем уравнения для узлов по первому закону Кирхгофа. Для цепи с п узлами можно составить (n-1) независи­мых уравнений. В нашей цепи три узла (A, В, С), значит, число уравнений: п - 1 = 3-1 = 2. Составляем два уравнения для любых 2-х узлов, например, для узлов В и С.

узел В: I₁ + I₂ = I₄

узел С: I₃ + I₅ = I₂

Всего в системе должно быть пять уравнений. Два уже есть. Три не­достающих составляем для линейно независимых контуров. Чтобы они были независимыми, в каждый следующий контур надо включить хотя бы одну ветвь, не входящую в предыдущие.

Задаемся обходом каждого контура и составляем уравнения по вто­рому закону Кирхгофа.

Контур АДСВА - обход по часовой стрелке

Е₂ – Е₁ = I₂(R₂ + г₀₂) – I₁(R₁ + г₀₁) + I₃(R₃ + R₆)

Контур АВА'А — обход по часовой стрелке

E₁=I₁(R₁+r₀₁) + I₄R₄

Контур А'СВА' - обход против часовой стрелки

E₂ = I₂(R₂ + r₀₂) + I₄R₄ + I₅R₅

ЭДС в контуре берется со знаком "+", если направление ЭДС совпа­дает с обходом контура, если не совпадает - знак "-".

Падение напряжения на сопротивлении контура берется со знаком "+", если направление тока в нем совпадает с обходом контура, со знаком "-^;', если не совпадает.

Мы получили систему из пяти уравнений с пятью неизвестными:

I₄ = I₁ + I₂

I₂ = I₃ + I₅

Е₂ – Е₁ = I₂(R₂ + г₀₂) + I₃(R₃ + R₆) – I₁(R₁ + г₀₁)

E₁=I₁(R₁+r₀₁) + I₄R₄

E₂ = I₂(R₂ + r₀₂) + I₄R₄ + I₅R₅

Решив систему, определим величину и направление тока во всех вет­вях схемы.

Если при решении системы ток получается со знаком "-", значит его действительное направление обратно тому направлению, которым мы за­дались.

2) Определить токи во всех ветвях схемы, используя метод контур­ных токов.

Метод контурных токов основан на использовании только второго за­кона Кирхгофа.

Это позволяет уменьшить число уравнений в системе на n-1. .

Достигается это разделением схемы на ячейки (независимые конту­ры)

и введением для каждого контура-ячейки своего тока - контурного тока, являющегося расчетной величиной.

Итак, в заданной цепи (рис. 1.38) можно рассмотреть три контура-ячейки

(АДСВА, АВА'А, А'СВА') и ввести для них контурные токи I_k1, I_k2, I_k3 .

Контуры-ячейки имеют ветвь, не входящую в другие контуры — это внешние ветви.

В этих ветвях контурные токи являются действительными токами ветвей.

Ветви, принадлежащие двум смежным контурам, называются смежными ветвями. В них действительный ток равен алгебраической сумме контурных токов смежных контуров,

с учетом их направления.

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа в левой части равенства алгебраически суммируются ЭДС источников, входящих в контур-ячейку, в правой части равенства алгебраически суммируются на­пряжения на сопротивлениях, входящих в этот контур, а также учитывает­ся падение напряжения на сопротивлениях смежной ветви, определяемое по контурному току соседнего контура.

На основании вышеизложенного порядок расчета цепи методом кон­турных токов будет следующим:

стрелками указываем выбранные направления контурных токов I_k1, I_k2, I_k3 в контурах-ячейках. Направление обхода контуров принимаем таким же;

составляем уравнения и решаем систему уравнений или методом подстановки, или с помощью определителей.

Е₁ = I_k1(R₁ + г₀₁ + R₄) + I_k2 R₄ – I_k3(R₁ + г₀₁ )

Е₂ = I_k2(R₂ + г₀₂ + R₄ + R₅) + I_k1R₄ + I_k3(R₂ + г₀₂)

Е₂ – Е₁ = I_k3(R₂ + г₀₂ + R₁ + г₀₁ + R₃ + R₆) – I_k1(R₁ + r₀₁) + I_k2(R₂ + r₀₂)

Подставляем в уравнение численные значения ЭДС и сопротивлений.

40 = I_k1(18 + 2 + 24) + I_k2 24 – I_k3(18 + 2)

60 = I_k2(36 + 4 + 24 + 40) + I_k1 24 + I_k3(36 + 4)

60 – 40 =I_k3(36 + 4 + 18 + 2 + 16 + 34) – I_k1(18 + 2) + I_k2(36 + 4)

или

40 = I_k1 44 + I_k2 24 – I_k3 20

60 = I_k1 24 + I_k2 104 + I_k3 40

20 = – I_k1 20 + I_k2 40 + I_k3 110

Сократив первое уравнение на 4, второе — на 4, третье — на 10, получим:

10 = I_k1 11 + I_k2 6 – I_k3 5

15 = I_k1 6 + I_k2 26 + I_k3 10

2 = – I_k1 2 + I_k2 4 + I_k3 11

Решим систему с помощью определителей. Вычислим определитель системы и

частные определители ₁ , ₂ , ₃ .

11 6 -5

= 6 26 10 = 11∙26∙11+6∙10∙(-2)+6∙4∙(-5)-(-2)∙26∙(-5)-6∙6∙11-4∙10∙11 = 1810

-2 4 11

10 6 -5

₁ = 15 26 10 = 10∙26∙11+15∙4∙(-5)+6∙10∙2-2∙26∙(-5)-15∙6∙11-4∙10∙10 = 1550

2 4 11

11 10 -5

₂ = 16 15 10 = 11∙15∙11+10∙10∙(-2)+6∙2∙(-5)-(-2)∙15∙(-5)-6∙10∙11-2∙10∙11 = 525

-2 2 11

11 6 10

₃ = 6 26 15 = 11∙26∙2+6∙15∙(-2)+4∙6∙10-(-2)∙26∙10-4∙15∙11-6∙6∙2 = 420

-2 4 2

Вычисляем контурные токи:

₁ 1550 ₂ 525 ₃ 420

I_k1 = ------ = ------- = 0.856 A: I_k2 = ------ = ------- = 0.290 A: I_k3 = ------ = ------- = 0.232 A.

1810 1810 1810

Действительные токи ветвей:

I₁ = I_k1 - I_k3 = 0,856 - 0,232 = 0,624 А,

I₂ = I_k2 + I_k3 = 0,290 + 0,232 = 0,522 А,

I₃ = I_k3 = 0,232А,

I₄ = I_k1+ I_k2 = 0,856 + 0,290 = 1,146 А,

I₅ = I_k2 = 0,290 А.

3) Определить токи во всех ветвях схемы на основании метода на­ложения. По методу наложения ток в любом участке цепи рассматривается как алгебраическая сумма частных токов, созданных каждой ЭДС в отдельности.

а) Определяем частные токи от ЭДС E₁, при отсутствии ЭДС Е₂, т. е.

рассчитываем цепь по рис. 1.39.

Показываем направление частных токов от

ЭДС Е₁, и обозначаем буквой I с од­ним

штрихом (I').

Решаем задачу методом "свертывания"

R_2.02 = R₂ + r₀₂ = 36 + 4 = 40 O_M

R_3.6 = R₃ + R₆ = 16 + 34 = 50 O_M

Рис. 1. 39

R₅ ∙ R₃₆ 40∙50

R₃₆₅ = ----------- = ------- = 22,222 О_М

R₅ + R₃₆ 40+50

R_2,02,365 = R_2,02 + R₃₆₅ = 40 + 22,222 = 62,222 О_М

R₄ ∙ R_2,02.365 24∙62,222

R_4,2,02,365 = ---------------- = ------------ = 17,320 О_М

R₄ + R_2,02,365 24+62,222

R_экв = R₁ + R_4,2,02,365 = 18+17,320 = 35,320 О_М

Токи источника

E ₁ 40

I₁' = ----------- = ------------ = 1,072 A

R_экв + r₀₁ 35,320+2

Применяя формулу разброса и 1-й закон Кирхгофа, вычисляем токи ветвей:

R₄ 24

I₂' = I₁' ∙ --------------- = 1,072 ∙ ------------- = 0,298 A ;

R₄ + R_2,02,365 24+62,222

I₄' = I₁' – I₂' = 1,072 - 0,298 = 0,774 А ;

R₃₆ 50

I₅' = I₂' ∙ ---------- = 0,298 ∙ -------- = 0,166 A ;

R₃₆ + R₅ 50+40

I₃' = I₂' – I₅' = 0,298 - 0,166 = 0,132 A.

б) Определяем частные токи от ЭДС Е₂ при отсутствии ЭДС E₁, т. е. рассчитываем простую цепь по рис. 1.40.

Показываем направление частных токов

от ЭДС E₂ и обозначаем их буквой I с двумя

штрихами (I").

Рассчитываем общее сопротивление цепи:

R₃₆ = R₃ + R₆ = 16 + 34 = 50 Ом

R_1,01 = R₁ + r₀₁ = 18 + 2 = 20 Ом

Рис. 1.40

R₃₆ ∙ R₅ 50∙40

R₃₆₅ = ----------- = -------- = 22,222 О_М ;

R₃₆ + R₅ 50+40

R₄ ∙ R_1,01 20∙24

R_1,01,4 = ------------ = -------- = 10,909 О_М ;

R₄ + R_1,01 20+24

R_экв = R_1,01,4 + R₃₆₅ + R₂ = 10,909 + 22,222 + 36 = 69,131 О_М

Вычисляем ток источника

E₂ 60

I₂" = ------------ = ------------ = 0,820 А

R_экв + r₀₂ 69,131+4

Применяя форму разброса и 1-й закон Кирхгофа, вычисляем токи ветвей:

R₅ 40

I₃" = I₂" ∙ ------------ = 0,820 ∙ ---------- = 0,364 A ;

R₅ + R₃₆ 50 + 40

I₅" = I₂" - I₃" = 0,820 - 0,364 = 0,456 А ;

R₄ 24

I₁" = I₂" ∙ ------------ = 0,820 ∙ --------- = 0,447А ;

R₄ + R_1,01 24+20

I₄" = I₂" – I₁" = 0,820 - 0,447 = 0,373 А

Вычисляем токи ветвей исходной цепи (рис. 1.38), выполняя алгеб­раическое сложение частных токов, учитывая их направление:

I₁ = I₁' – I₁" = 1,072 – 0,447 = 0,625 А;

I₂ = I₂" – I₂' = 0,820 – 0,298 = 0,522 А;

I₃ = I₃" – I₃' = 0,364 – 0,132 = 0,232 А;

I₄ = I₄' + I₄" = 0,774 + 0,373 = 1,147 А;

I₅ = I₅" – I₅' = 0,456 – 0,166 = 0,290 А

4) Составить баланс мощностей для заданной схемы. Источники Е₁ и Е₂ вырабатывают электрическую энергию, т. к. на­правление ЭДС и тока в ветвях с источниками совпадают. Баланс мощно­стей для заданной цепи запишется тaк:

E₁I₁ + E₂I₂ = I₁²(R, + r₀i) + I₂²(R₇ + r₀₂) + I₃²(R₃ + R₆) + I₄²R₄ + I₅²R₅

Подставляем числовые значения и вычисляем

40∙0,624+60∙0,522 = 0,624²∙(18+2)+0,522²∙(36+4)+0,232²∙(16+34)+1,146²∙24+0,290² ∙40 ;

56,280 Вт = 56,262 Вт

С учетом погрешности расчетов баланс мощностей получился.