Распределение Пуассона

Пусть вероятность появления признака у одной частицы мала и общее число частиц велико , тогда, если признак имеют в среднем частиц, то его вероятность для n частиц

. (1.32)

Результат получил Пуассон в 1837 г. на основе биномиального распределения.

Симеон Дени Пуассон (1781–1840)

Производящая функция. Используем (1.28) и производящую функцию биномиального распределения (1.27)

.

Учитываем и

,

где . Получаем производящую функцию для распределения Пуассона

. (1.33)

Выполняется нормировка (П1.16) , тогда

.

В (П.1.15)

подставляем (1.33), получаем

,

находим распределение Пуассона (1.32)

.

Среднеквадратичное число частиц и дисперсия. Из результатов для биномиального распределения (1.30) и (1.31)

,

при получаем

, (1.36)

. (1.37)

Для флуктуации выполняется закон больших чисел – флуктуация относительно среднего значения равна корню квадратному из среднего значения

. (1.38)

График распределения для показан на рис. (б).

а б

Распределения биномиальное (а) и Пуассона (б) для N = 10, , р = 0,45

Сравнение графиков показывает погрешность, допускаемую распределением Пуассона (график б), вызванную не достаточно малым p и не достаточно большим N.