Квантовое объяснение возникновения т. э. д. с.
Возникновение термоэлектродвижущей силы обусловлено тремя причинами:
1. температурной зависимостью уровня Ферми, что приводит к появлению контактной составляющей т. э. д. с.;
2.диффузией носителей заряда от горячего конца к холодному, определяющей объемную часть т. э. д. с.;
3.процессом увлечения электронов фононами, который дает еще одну составляющую
–фононную.
Рассмотрим первую причину Максимальная кинетическая энергия электронов проводимости в металле при 0К
называется энергией Ферми. Уровень Ферми при абсолютном нуле и концентрация электронов проводимости связаны между собой соотношением:
| E f (0)= | h2 | (3π 2n)2 / 3 | (П1), | |
| 8π2 m | ||||
где h – постоянная Планка, m – масса электрона, n – концентрация электронов проводимости.
У разнородных металлов концентрация электронов проводимости неодинаковые, поэтому будут различны и уровни Ферми EF1 и EF2. Пусть концентрация n2 в металле М2 больше концентрации n1 в металле M1. Рассмотрим энергетические диаграммы двух проводников М1и М2 , расположенных на небольшом расстоянии друг от друга (рис. П1а). Пусть W0 – энергия покоящегося свободного электрона в вакууме, где его потенциальная энергия равна нулю. Тогда, относительно этого уровня потенциальная энергия электрона проводимости в металле определяется его внутренней потенциальной энергией еφ и эффективной работой выхода А, а кинетическая энергия зависит от температуры и уровня Ферми. Полную энергию электрона в металле обозначим EF + еφ
Если металлы М1 и М2 привести в контакт (рис. П1 б, в), начнется диффузия электронов, в процессе которой электроны будут переходить из металла 2 в металл 1, так как n1<n2 и следовательно EF1 < EF2.
| а) | б) | в) |
Рис. П1. Энергетическая диаграмма двух металлов:
а) контакта нет; б) в контакте, но нет равновесия; в) равновесие
Действительно, в металле М2 имеются заполненные энергетические уровни, расположенные выше уровня Ферми ЕF1 первого металла. Электроны с этих уровней будут переходить на нижележащие свободные уровни металла М1, которые расположены выше уровняЕF1. В результате диффузии металл 2 будет заряжаться положительно, а металл 1 отрицательно, причем уровень Ферми у первого металла поднимается, а у второго
опускается. Таким образом, в области контакта возникает электрическое поле, а,
следовательно, и внутренняя контактная разность потенциалов, которая препятствует дальнейшему перемещению электронов. При некотором значении внутренней контактной разности потенциалов U12 между металлами установится равновесие, и уровни Ферми при этом сравняются. Это произойдет при равенстве энергий
EF1+ eϕ1= EF 2+ eϕ2.
Отсюда следует выражение для внутренней контактной разности потенциалов
| ϕ1− ϕ2= U12 | = | EF1- EF2 | . | (П2) |
| e |
Если оба спая А и В проводников находятся при одной и той же температуре, то контактные разности потенциалов равны и имеют противоположные знаки, то есть компенсируют друг друга.
При выводе предполагалось, что металлы находятся при низких температурах. Однако результат останется верным и при других температурах: нужно лишь иметь ввиду, что при Т≠0К уровень Ферми зависит не только от концентрации электронов, но и от температуры.
При условии, что kТ<<ЕF эта зависимость имеет следующий вид:
| −π | 2 | kT | ||||||||||
| Е | F | ≈ Е | F | (0)1 | . | (П3) | ||||||
| EF(0) | ||||||||||||
Следовательно, если в местах спаев А и В поддерживать разную температуру, то сумма скачков потенциала в спаях будет отлична от нуля и вызовет появление ЭДС. Эта ЭДС, обусловленная контактными разностями потенциалов, согласно выражению П2 равна:
εk = U12 (TА)+ U12 (TВ)= 1e {[EF1(TА)− EF 2 (TА)]+[EF1(TВ)− EF 2 (TВ)]}=
=1e {[EF2 (TВ)− EF2 (TА)]+[EF1(TВ)− EF1(TА)]}
Последнее выражение можно представить следующим образом:
| εk | = ∫В | 1 dEF 2 | dT − ∫В | 1 dEF1 | dT . | (П4) | ||
| T | T | |||||||
| ТАe | dT | TАe | dT |
Вторая причина обуславливает объемную составляющую т. э. д. с., связанную с неоднородным распределением температуры в проводнике. Если градиент температуры поддерживается постоянным, то через проводник будет идти постоянный поток тепла. В металле перенос тепла осуществляется в основном движением электронов проводимости. Возникает диффузионный поток электронов, направленный против градиента температуры. В результате, концентрация электронов на горячем конце уменьшится, а на холодном
увеличится. Внутри проводника возникает электрическое поле ЕrТ , направленное против градиента температуры, которое препятствует дальнейшему разделению зарядов (рис. П2)
Рис. П2 Возникновение т. э. д. с. в однородном материале вследствие пространственной неоднородности температуры.
Таким образом, в равновесном состоянии наличие градиента температуры вдоль образца создает постоянную разность потенциалов на его концах. Это и есть диффузионная (или объемная) составляющая т. э. д. с., которая определяется температурной зависимостью концентрации носителей заряда и их подвижностью. Электрическое поле возникает в этом случае в объеме металла, а не на самих контактах.
Третий источник т. э. д. с. – эффект увлечения электронов фононами. При наличии градиента температуры вдоль проводника возникает дрейф фононов (квантов энергии упругих колебаний решетки), направленный от горячего конца к холодному. Сталкиваясь с электронами, фононы сообщают им направленное движение, увлекая их за собой. В результате, вблизи холодного конца образца будет накапливаться отрицательный заряд (а на горячем положительный) до тех пор, пока возникшая разность потенциалов не уравновесит эффект увлечения. Эта разность потенциалов и представляет собой дополнительную составляющую т. э. д. с., вклад которой при низких температурах становится определяющим:
| ε1AВ | = ∫В dϕ =∫В dϕ dT =∫В | β1dT , (П5) | ||
| T | ||||
| А | А dT | TА |
где β1 = ddTϕ - коэффициент объемной т. э. д. с. в металле М1.
| ε2АB | = −∫dϕ = −∫dϕdT = −∫β2dT | , (П6) | |||
| В | В | TВ | |||
| А | А | dT | TА | ||
гдеβ2 = ddTϕ - коэффициент объемной т. э. д. с. в металле М2.
Сумма всех этих ЭДС образует термоэлектродвижущую силу
εT =εk +εA21 +εB12 . (П7)
Подставив выражения (П4), (П5) и (П6) в равенство (П7), получим
| ТВ | 1 dEF 1 | TВ | 1 dEF 2 | |||||||
| εТ= ∫ | β1 | − | dT − ∫ | β2 | − | dT . (П8) | ||||
| ТА | е dT | TА | e dT |
Величина α = β − 1е dEdTF называется коэффициентом т. э. д. с. и является функцией
температуры.
Абсолютные значения всех термоэлектрических коэффициентов растут с уменьшением концентрации носителей. В металлах концентрации свободных электронов очень велики и не
зависят от температуры; электронный газ находится в вырожденном состоянии и поэтому уровень Ферми, энергия и скорости электронов также слабо зависят от температуры. Поэтому коэффициенты термоэдс «классических» металлов очень малы (порядка нескольких мкВ/К). Для полупроводников α может превышать 1000 мкВ/К.
Используя коэффициент α, представим выражение (П8) в виде:
| TB | TB | T |
| εT = ∫α1dT− ∫α2dTили εT | = ∫Bα12 dT (П9) , | |
| TA | TA | TA |
где α12 = α1 − α2 - называется дифференциальной или удельной термоэлектродвижущей
силой данной пары металлов.
Если α 12 слабо зависит от температуры, тогда формулу (П9) можно приближенно представить в виде:
ε = α12 (TВ − ТА) (П10)
