Расчет электромагнитных механизмов

В момент срабатывания реле воздушный зазор между якорем и сердечником изменяется. Поэтому расчет магнитной цепи отличается от аналогичного расчета для электромеханических устройств с постоянным воздушным зазором (например, электрических машин). Основные различия заключаются в изменении в большом диапазоне сопротивления магнитной цепи при срабатывании реле. Большую часть этого магнитного сопротивления R_m, составляет сопротивление воздушного зазора R_δ

При равномерном (однородном) поле магнитная проводимость воздушного промежутка ( ), являющаяся величиной, обратной магнитному сопротивлению (R_δ), равна

, (1.1)

где m₀ = 4p×10^-7 Гн/м — магнитная постоянная; S — площадь полюса, м²; d — величина воздушного промежутка, м.

Если сердечник реле имеет относительно большую площадь S поперечного сечения или специальные полюсные наконечники при не­большом ходе d якоря, то приближенно можно считать, что в рабочем воздушном зазоре магнитное поле равномерно. Исследования показали, что это справедливо при > 10 d.

Эквивалентная магнитная проводимость зазора для броневого электромагнита

, (1.2)

где L_dн — проводимость начального зазора, Гн; l_s — удельная проводимость рассеяния, Гн/м; l_к — длина катушки, м; l_я и l_с — длина якоря и стопы соответственно, м.

При неравномерном поле расчет магнитных проводимостей поля c боковой поверхности полюсов вблизи воздушного зазора может быть проведен различными методами [1,2]: по построенной на графике или определенной опытным путем картине магнитного поля (определяется число трубок потока); по формулам для вероятных путей потока (основан на разбиении пространства между полюсами на простые геометрические фигуры, проводимости которых известны); по аналитическим формулам (точным, приближенным),

Расчет магнитных проводимостей с учетом выпучивания может быть сделан также по формулам Сливинской А.Г; полученных путем математической обработки экспериментальных данных. Так, для втяжных электромагнитов:

для цилиндрических полюсов диаметром d (м)

; (1.3)

для квадратных полюсов со стороной а (м)

; (1.4)

для конических полюсов с углом при вершине конуса 2 α

. (1.5)

Для броневого электромагнита с внутренним диаметром кожуха D проводимость рабочего зазора d с учетом поля выпучивания с торцов и боковой поверхности цилиндрических полюсов диаметром d определяют по формуле

, (1.6)

где x=(D – d)/p – d/2 .

Для клапанного электромагнита с цилиндрическим полюсом, имеющим полюсный наконечник (шляпку), проводимость с учетом выпучивания поля находят по формуле

, (1.7)

где d_шл и h_шл — соответственно диаметр и толщина шляпки, м; c₁ — коэффициент, равный

, ,

где R₀ — расстояние от оси вращения якоря до оси полюса, м.

Суммарная МДС электромагнита (А) равна

, (1.8)

где I – ток электромагнита, W – количество витков катушки электромагнита F_då, - результирующее падение магнитного потен­циала в рабочих воздушных зазорах; F_стe - суммарное падение магнитного потенциала в стали.

При заданном магнитном потоке в рабочем зазоре Ф_d (Вб) результирующее падение магнитного потенциала в рабочих зазорах определяется по формуле

, (1.9)

где L_då,—суммарная проводимость рабочих зазоров, Гн.

Суммарное падение магнитного потенциала в стали

, (1.10)

где - падение МДС на отдельном i-м участке стали; l_стi— длина i-го участка магнитной цепи по стали, м; H_стi, — на­пряженность магнитного поля i-го участка магнитной цепи, А/м, которую находят из кривых намагничивания материала магнитопровода [8] по значению индукции (Тл):

Электромагнитная сила, притягивающая внешний стальной якорь к электромагниту, определяется по формуле

, (1.11)

где — производная суммарной проводимости по зазору, Гн/м.

Для электромагнита с поворотным якорем электромагнитный момент (Н×м)

, (1.12)

где — суммарная производная проводимости рабочих зазоров по углу наклона якоря над полюсом, Гн/рад.

Для броневых электромагнитов

, (1.13)

где l_s, —удельная проводимость рассеяния, Гн/м; l_я и l_k — длина якоря и катушки, м.

Электромагнитная сила для равномерного поля в зазоре и не­насыщенной магнитной системе определяется по формуле Максвелла:

. (1.14)

Аналогично по (1.11), определяется электромагнитная сила в зазоре с учетом магнитных полей выпучивания, используя формулы (1.3-1.5). Так, например, производная магнитных проводимостей двух воздушных зазоров с учетом полей выпучивания для подковообразного электромагнита, имеющего шляпки с диаметром d_шл и толщиной h_шд:

. (1.15)

Формула (1.11) может быть также использована для определения электромагнитной силы реле клапанного типа или по (1.12) определяется электромагнитный момент, учитывая, что при угле наклона якоря над полюсом b производная проводимости рабочих зазоров

, (1.16)

где а – ширина якоря, м; r — радиус полюса, м.

Для броневых электромагнитов электромагнитную силу определяют с учетом полей рассеивания по (1.13) и тогда необходимо знать удельную проводимость рассеивания λ_0. Формулы для расчета удельной проводимости приведены в табл. 1.1.

Для соленоидного электромагнита сила определяется по приближенной формуле:

. (1.17)

Таблица 1.1

Эскиз	Удельная проводимость λ
	Параллельные цилиндры одинакового диаметра: , где n = h/(2·r)
	Окончание таблицы 1.1
	Параллельные цилиндры с радиусами r1 и r 2 , где
	Цилиндр, параллельный плоскости: при а > 4·h при a = (1,25 … 2,5)·h h2a = ka·λ2; ka = 0,85 … 0,92 Цилиндр, параллельный двум симметрично рас­положенным плоскостям: h2b = kb·λ2; ka = 1,25 … 1,4
	Параллельные цилиндры (один внутри другого)

где — максимальная электромагнитная сила, H; F₀ — удельная МДС катушки на единицу длины катушки, А/м; S_бок — боковая поверхность сердечника, м²; — коэффициент, учитывающий влияние на величину силы размеров сердечника диаметром d_c (м) при условии равенства его длины l_с (м) длине катушки l_к: (н/ а²); ; ; - безразмерные коэффициенты, d_cp — средний диаметр катушки электромагнита.

Выражение для функции f(x) (где х—глубина погружения подвижного сердечника в катушку, м), обусловливающей знакопеременную характеристику Р_Э = f(х), имеет следующий вид:

, (1.18)

где k₁=0,91, k₂=0,25, а коэффициент j равен .

Значение х, соответствующее максимуму силы, равно

. (1.19)

Выбор типа электромагнита и определение его размеров можно производить в зависимости от величины конструктивного показателя П_к по данным табл. 1.2

Таблица 1.2

Тип электромагнита	Пk, (√Н)/м
Броневой с плоским стопом и якорем Броневой с якорем и стопом конической формы с углом при вершине 90° То же, с углом при вершине 60° Клапанный электромагнит с П-образным магнитопроводом Соленоидный электромагнит	5000—28 000 1600—5300   380—1600 840—8400   <2,8

Выражение для П_к, имеет вид

, (1.20)

где Р_э.н — электромагнитная сила, Н, при начальном рабочем зазоре d_н м. Длину цилиндрической бескаркасной катушки при длительном режиме ра­боты определяют по формуле

, (1.21)

где - установившееся значение МДС катушки, А;

k_з = 1,1-2; - коэффициент запаса; - МДС трогания;

k_п = 1,2-1,5 - коэффициент, учитывающий падение магнитного потенциала в стали и паразитных зазорах; равный; F_d - падение магнитного потенциала в рабочем зазоре; p_q - удельное электрическое сопротивление провода в нагретом состоянии, Ом×м; q_доп допустимая температура °С; q₀ - температура окружающей среды, °С; k_т - коэффициент теплопередачи для катушек электромагнитов (табл. 1.3); k_з.м - коэффициент заполнения по меди (табл. 1.4); n=l_k/h_k - отношение длины катушки к ее высоте, можно определить по рис. 1.2 в зависимости от величины П_к, h_k - высота катушки, равная разности внешнего и внутреннего радиусов катушки.

Таблица 1.3

Превышение температуры	Коэффициент теплоотдачи (при температуре температуры окружающей среды 35 ° С) kt, Вт / м2 С°
для бескаркасных катушек, намотанных на сердечник	для катушек без стали
	11.00 11.20 11.41 11.62 11.80 12.04 12.25 12.46 12.58 12.89	9.84 10.01 10.19 10.37 10.54 10.72 10.99 11.17 11.35 11.52

При расчете обмоточных данных используются следующие формулы.

Диаметр провода, м:

, (1.22)

где U — напряжение питания обмотки, В; l_ср — средняя длина витка, м, , d₀ — диаметр внутренней обмотки, м; h_к — толщина обмотки, м.

Рис. 1.2. Зависимость параметров электромагнитов oт кон­структивного показаеля: I - индукция в рабочем зазоре броне­вого электромагнита с плоским стопом; 2 - индукция в рабочем зазоре клапанного электромагнита; 3 - отношение длины катуш­ки к ее толщине в броне­вом электромагните с плоским стопом; 4 - отношение длины катушке к ее толщине в клапанном электро­магните

Число витков обмотки

, (1.23)

где - площадь обмоточного окна, м².

Таблица 1.4

Диаметр медной проволоки без изоляции d, м×10-3	ПЭВ-1	ПЭВ-2
Диаметр провода с изоляцией d1м×10-3	Коэффициент заполнения kз.м	Диаметр провода с изоляцией d1м×10-3	Коэффициент заполнения kз.м
0,050 0,063 0,071 0,080 0,090 0,100 0,112 0,125 0,140 0,160 0,180 0,200 0,224 0,250 0,280 0,315 0,355 0,400 0,450 0,500 0,560 0,630 0,710 0,750 0,800 0,850 0,900 0,950 1,000 1,060 1,120 1,180 1,250	0,070	0,280 0,330 0,380 0,430 0,460 0,490 0,510 0,520 0,535 0,550 0,568 0,580 0,594 0,605 0,616 0,627 0,637 0,647 0,656 0,663 0,668 0,674 0,679 0,680 0,682 0,684 0,685 0,686 0,687 0,688 0,689 0,690 0,690	0,080 0,090 0,100 0,110 0,120 0,130 0,140 0,155 0,170 0,200 0,220 0,240 0,270 0,300 0,330 0,365 0,415 0,460 0,510 0,570 0,630 0,700 0,790 0,840 0,890 0,940 0,990 1,040 1,100 1,160 1,220 1,280 1,350	0,250
0,085 0,095 0,105 0,115 0,125 0,135 0,150 0,165 0,190 0,210 0,230 0,260 0,290 0,320 0,355 0,395 0,440 0,490 0,550 0,610 0,680 0,760 0,810 0,860 0,910 0,960 1,010 1,070 1,130 1,190 1,260 1,330	0,290
0,340
0,380
0,410
0,440
0,460 0,480 0,495 0,510 0,527 0,538 0,550 0,560 0,572 0,580 0,589 0,597 0,605 0,612 0,618 0,625 0,631 0,634 0,637 0,64 0,643 0,646 0,648 0,650 0,651 0,652 0,652

При d>0,3×10^-3 м (для рядовой обмотки) число витков

, (1.24)

где - число витков в слое при длине окна l₀ и диаметре провода с изоляцией d₁; равно - число слоев.

Площадь обмоточного окна (м²)

, (1.25)

где Q₀ — площадь обмоточного окна, м²;

Сопротивление обмотки (Ом)

; (1.26)

Мощность, потребляемая катушкой (Вт)

; (1.27)

Коэффициент возврата электромагнитов равен:

= F _отп /F _{сраб ,} (1.28)

где DР - разность электромагнитной и противодействующей сил при конечном зазоре, Н; Р_эк - электромаг­нитная сила при конечном за­зоре, Н., F _отп /F _сраб – МДС отпускания и срабатывания (А).,

По результатам расчета строится тяговая характеристика P_э f(δ). Эта характеристика должна быть согласована с характеристикой Pмех f(δ), что достигается варьированием коэффициента запаса k_з. Для надежного притяжения якоря необходимо, чтобы при любом зазоре δ соблюдалось условие P_э > P_мех.

На динамические параметры реле большое влияние оказывает индуктивность обмотки

L = ψ/I = W² Ф /F = W² λ , (1.29)

так как λ ≈ λ _δ, то L ≈ W² λ _δ

Время срабатывания реле t_cp определяется суммой времени трогания t_тр и времени движения якоря t_дв:

. (1.30)

В связи с тем, что при движении якоря L – var точный расчет t _ДВ довольно громоздок [6], в приближенных расчетах пользуются формулой

t _сраб = (1.1 / 1.3) t_тр; (1.31)

Время трогания определяется по формуле

, (1.32)

где I _уст = U/R - установившееся значение тока в обмотке реле, A;

I _тр = - ток трогания якоря, определяется из условия,

что Р_э = P_мех при начальном зазоре δ_нач; — постоянная времени обмотки.

Для приближенного определения времени движения используют формулу [8]:

, (1.33)

где т - масса подвижной системы, кг; (Р_э —Р_П)_ср - среднее значение разности сил, Н.

Для быстродействующих электромагнитов время движения определяют по формуле

. (1.34)

Время движения для электромагнитов с поворотным якорем:

, (1.35)

где J — момент инерции подвижной системы, кг×м²; b - угол поворота якоря, рад; М_эср - среднее по ходу якоря значение электромагнитного момента, Н×м.

Пример расчета электромагнитов постоянного тока

Исходные данные. Произвести предварительный расчет маг­нитной цепи реле постоянного тока клапанного типа (рис. 1.1,6), если начальный механический момент, действующий на якорь, М_н.мех= 0,1962 Н×м; угол поворота якоря b = 0,157 рад; но­минальное напряжение обмотки U_ном,=110 В; возможное пони­жение напряжения на обмотке до 0,85 U_ном; ход якоря δ = δ н - δ к = 4·10 ^-3 м.

Расчет. Электромагнитное усилие, действующее на якорь

P_э = М_э/ R _c = М_эb/ δ, где R_c - средний радиус поворота якоря; М_э - электромаг­нитный момент, действующий на якорь.

В начальный момент времени движения якоря можно принять М_э ≈ М_н.мех. Отсюда

Р_эн = 0, 1962·0.157/(4 · 10^-3) = 7, 72 Н.

Индукция В_δ в рабочем воздушном зазоре определяется из опыта проектирования реле по конструктивному фактору

П_к = / δ = /(4·10^-3) = 695 н^0.5м .

Для полученного значения П_к по рис. 1.2 находятся значение В_δ = 0,19 Тл и конструктивный коэффициент

n = l_k / h_k ≈ 7.

Подсчитывается площадь поперечного сечения полюсного наконечника из формулы Максвелла

Из реальных условий намотки катушки принимается диаметр наконечника d_вн = 3 ·10^-2м, для которого S_пн = 70,6·10^-5 м². Поэтому принятое ранее значение В_δ уменьшается до 0,1665 Тл :

В качестве материала магнитопровода выбирается сталь марки 1511. При выборе индукции B_с в сердечнике необходимо учитывать, что при слишком малых индукциях возрастает масса и габариты реле, а при больших - возрастают мощности. Поэтому рабочая точка магнитной цепи выбирается несколько ниже колена кривой намагничивания. Этому соответствует В_с = 1.1 Прини­мается коэффициент рассеяния δ = 2. Тогда из условия постоян­ства магнитного потока определяем сечение сердечника

S = В_δ S _пн σ / В_с = 0, 1665 ·7,06 • 10^-4 ·2/1,1 = 2,14·10^-4 м².

Падение МДС в стали и нерабочих воздушных зазорах (по­люсный наконечник - сердечник, сердечник - ярмо, ярмо - якорь) предварительно учитывается эмпирическим коэффициентом [8] d₁, = 0,15 + 0,35. Чем больше индукция в стали магнитопровода и чем больше нерабочие воздушные зазоры, тем больше d₁. Примем d₁ = 0,3. Тогда МДС обмотки

,

где Н_δ = В_δ - напряженность магнитного поля в рабочем зазоре, А/м ; k_п= 1 / (1- d₁) = 1,2 + 1,5 - коэффициент, учиты­вающий падение магнитного потенциала в стали и паразитных за­зорах.

При понижении питающего напряжения до U = 0,85U_ном

F_у = F/0,85 = 760/0,85 = 895 А

Размеры обмотки определяются в следующем порядке. При­нимается провод с эмалевой изоляцией марки ПЭB-1. Для такого класса изоляции принято максимальное превышение температуры ∆ Т = 60°С при температуре окружающей среды Т_окр = 35° С.

По табл. 1.3 определяется коэффициент теплоотдачи k_т = 11,8 Вт/(м^2.С). Коэффициент заполнения обмотки в зависимости от ее конструкции и способа изготовления находится в пределах k_зм = 0,57 - 0,285. При заданном диаметре провода он может быть определен по табл. 1.4. В примере расчета предварительно принимается . k_зн = 0,45.

Тогда по [8]

,

где = 1,7 ·10^-8 - удельное сопротивление меди.

Длина обмотки

l_к = n h_k = 7·3,52·10^-3 = 24,64·10^-3 м. Средний радиус поворота якоря

R_c = δ/b = 4·10^-3 / 0,157 = 2,56·10^-2м

Диаметр провода обмотки с учетом возможного понижения напряжения до 0,85 U_ном

Внутренний диаметр d₀ обмотки

d₀ = d_вн = 3 ·10² м

Внешний диаметр обмотки

D_o = d₀+2h_k= 3,0·10^-2 ·2352 ·10³ ·3,7 ·10^-2 м

В результате расчета получился стандартный диаметр про­вода d _пр = 0,15 мм (сечение q = 0,0176 мм²) с толщиной эмалевой изоляции на две стороны 0,022 мм (табл. 1.2). Таким образом, диаметр изолированного провода d₁ = 0,172 мм.

Допускаем, что обмотка выполняется рядовой без прокладок на автоматическом станке. Для этих условий коэффициент уклад­ки k_укл = 0,9 - 0,95. Для расчета принято k_укл =0,9.

Число витков обмотки

W = l_k h_k k_укл / d₁² = 24,64·10^-3·3,52·10^-3·0,9 / (0,172·10^-3)² = 2650.

Сопротивление обмотки

R = 4 p l_ср W/ (π d₁²) = 4·1,7·64·10^-2·10,5·10^-2·2650/ (0,172·10^-3) ² = 273 Ом.

Ток в обмотке

I = U/R = 110/273 = 0,403 А.

Мощность, потребляемая обмоткой,

N = U²_ном/R = 110²/273 = 44,3 Вт.

Плотность тока

∆= I/q = 0,403/0,0176·10^-6 А/м².

Для кратковременного режима работы допустимая плотность тока ∆ _доп = (13 - 30)·10^-6 А/м². Поэтому данное реле может быть использовано для работы в кратковременном режиме.

Магнитная проводимость воздушного промежутка

λ_δ = М_оS_пн/δ = 4 π·10^-7·7,06·10^-4 / (4·10^-3) = 2, 217·10^-7 Гн ^-1

Индуктивность обмотки

L_нач ≈ W²·λ_δ = 2650²·2.217·10^-7 = 1,557 Гн

Постоянная времени обмотки

= 1, 557/273 = 0,006 с .

Установившееся значение тока

I_уст = U/R = 110/273 = 0,4 А .

Ток трогания якоря

Противодействующее усилие

Р_мех = М_мех /R_с = 0,1962 /(2,56·10^-2) = 7,764 Н.

Время трогания

t_rp= r ln (I_уст / (I_уст - I_тр)) = 0,006 ln [0,4 / (0,4 – 0,04)] ·0,0063 с.

Время срабатывания

t_сраб = (1,1 - 1,3) t_rp = 1,2·0,00063 =0,00076 с

Контрольное задание № 2. Расчет электромагнита переменного тока

Исходные данные

Студенты, у которых предпоследние цифры номера зачетной книжки от 0 до 3, выбирают тип магнитопровода согласно рис.2.1, от 3 до 7 - согласно рис.2.2, а от 7 до 9 - по рис.2.3. Номер варианта выбирается по последней цифре номера зачетной книж­ки в табл.2.1.

Необходимо произвести расчет основных размеров и пара­метров однофазных электромагнитов с экранирующими витками. Построить график изменения электромагнитного усилия во време­ни и от величины зазора.

Таблица 2.1

Номер варианта
Напряжение
Ud
Противодействующая сила при притянутом якоре Рпр,Н
Начальное противодействующее усилие Рпр н.,Н
Начальный зазор d н.з
Конечный зазор d 10-3м	3,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09	0,1	0,11	0,12
Производ­ная индук­тивности по ходу якоря dl /dd м/м. Гн/м			б