Основные идеи вычислительного метода динамического программирования

Глава 4. Динамическое программирование

Некоторые задачи математического программирования обладают характерными особенностями, которые позволяют свести их решение к рассмотрению некоторого множества более простых «подзадач». В результате вопрос о глобальной оптимизации некоторой функции сводится к поэтапной оптимизации некоторых промежуточных целевых функций. В динамическом программировании рассматриваются методы, позволяющие путем поэтапной (многошаговой) оптимизации получить общий (результирующий) оптимум.

Обычно методами динамического программирования оптимизируют работу некоторых управляемых систем, эффект которой оценивается аддитивной, или мультипликативной, целевой функцией. Аддитивной называется такая функция нескольких переменных значение которой вычисляется как сумма некоторых функций , зависящих только от одной переменной

. (1)

Слагаемые аддитивной целевой функции соответствуют эффекту решений, принимаемых на отдельных этапах управляемого процесса. По аналогии, мультипликативная функция распадается на произведение положительных функций различных переменных:

. (2)

Поскольку логарифм функции типа (2) является аддитивной функцией, достаточно ограничиться рассмотрением функций вида (1).

Изложим сущность вычислительного метода динамического программирования на примере задачи оптимизации

, (3)

при ограничениях

. (4)

В отличие от задач, рассмотренных ранее, о линейности и дифференцируемости функций не делается никаких предположений, поэтому применение классических методов оптимизации (например, метода Лагранжа) для решения задачи (3)-(4) либо проблематично, либо просто невозможно.

Содержательно задача (3)-(4) может быть интерпретирована как проблема оптимального вложения некоторых ресурсов j, приводимых к единой размерности (например, денег) с помощью коэффициентов в различные активы (инвестиционные проекты, предприятия и т. п.), характеризующиеся функциями прибыли , т. е. такого распределения ограниченного объема ресурса (b), которое максимизирует суммарную прибыль.

Рассмотрим ситуацию, когда она решается последовательно для каждого актива. Если на первом шаге принято решение о вложении в п-йактив единиц, то на остальных шагах мы сможем распределить единиц ресурса. Абстрагируясь от соображений, на основе которых принималось решение на первом шаге (допустим, мы по каким-либо причинам не могли на него повлиять), будет вполне естественным поступить так, чтобы на оставшихся шагах распределение текущего объема ресурса произошло оптимально, что равнозначно решению задачи

(5)

при ограничениях

. (6)

Очевидно, что максимальное значение (5) зависит от размера распределяемого остатка, и если оставшееся количество ресурса обозначить через , то величину (5) можно выразить как функцию от :

, (7)

где индекс указывает на оставшееся количество шагов. Тогда суммарный доход, получаемый как следствие решения, принятого на первом шаге, и оптимальных решений, принятых на остальных шагах, будет

. (8)

Если бы имелась возможность влиять на , то для получения максимальной прибыли необходимо было максимизировать по переменной , т. е. найти и фактически решить задачу:

. (9)

В результате получим выражение для значения целевой функции задачи при оптимальном поэтапном процессе принятия решений о распределении ресурса. Это значение в силу построения данного процесса равно глобальному оптимуму целевой функции

, (10)

т. е. значению целевой функции при одномоментном распределении ресурса.

Если в выражении (9) заменить значения b на ,и п на k , то его можно рассматривать как рекуррентную формулу, позволяющую последовательно вычислять оптимальные значения целевой функции при распределении объема ресурса за k шагов:

. (11)

Значение переменной , при котором достигается рассматриваемый максимум, обозначим При формула (11) принимает вид

, (12)

т. е. допускает непосредственное вычисление функций и

Используя (12) как основание рекурсии, можно с помощью (11) последовательно вычислить и , . Положив на последнем шаге , в силу (9), найдем глобальный максимум функции (3), равный , и компоненту оптимального плана . Полученная компонента позволяет вычислить нераспределенный остаток на следующем шаге при оптимальном планировании: ,и, в свою очередь, найти . В результате подобных вычислений последовательно будут найдены все компоненты оптимального плана.

Таким образом, динамическое программирование представляет собой целенаправленный перебор вариантов, который приводит к нахождению глобального максимума. Уравнение (11), выражающее оптимальное решение на k-м шаге через решения, принятые на предыдущих шагах, называется основным рекуррентным соотношением динамического программирования. В то же время следует заметить, что описанная схема решения при столь общей постановке задачи имеет чисто теоретическое значение, так как замыкает вычислительный процесс на построение функций , т. е. сводит исходную задачу (3)-(4) к другой весьма сложной проблеме. Однако при определенных условиях применение рекуррентных соотношений может оказаться весьма плодотворным. В первую очередь это относится к задачам, которые допускают табличное задание функций .

§2. Задачи динамического программирования,

допускающие табличное задание рекуррентных соотношений

Рассмотрим процесс решения модифицированного варианта задачи (3)-(4), в котором переменные и параметры могут принимать только целочисленные значения, а ограничение (4) имеет вид равенства. В рамках предложенной интерпретации о вложении средств в активы данные предпосылки вполне реалистичны и, более того, могут быть даже усилены требованием о кратности значений ,например, 1000 единицам.

Чтобы не усложнять обозначения, условимся операции целочисленной арифметики записывать стандартным образом, полагая, что промежуточные результаты подвергаются правильному округлению. Так, например, будем считать, что 12/5 = 2.

В соответствии с общей схемой вычислительного алгоритма на первом шаге необходимо построить функцию

.

Поскольку , принимает конечное число целых значений от 0 до . Это позволяет, например, путем перебора значений найти функцию и задать ее в форме таблицы следующей структуры (табл. 5.1).

Последняя колонка табл. 5.1 содержит значение , на котором достигается оптимальное решение первого шага. Его необходимо запоминать для того, чтобы к последнему шагу иметь значения всех компонент оптимального плана.

На следующем (втором) шаге приступаем к вычислению функции , значения которой для каждого отдельно взятого находятся как

,

где значения

берутся из табл. 5.1. В результате вычислений формируется таблица значений , содержащая на одну колонку больше по сравнению с табл. 5.1, так как теперь необходимо запомнить оптимальные решения первого и второго шагов .

…	…	…
B

Таблица 5.1

На последующих шагах с номером осуществляются аналогичные действия, результатом которых становятся таблицы значений ,где (табл. 5.2).

			…
…	…			…
b

Таблица 5.2

На последнем п-омшаге нет необходимости табулировать функцию , так как достаточно определить лишь . Одновременно определяется и оптимальное значение n-й компоненты оптимального плана . Далее, используя таблицу, сформированную на предыдущем шаге, определяем оптимальные значения остальных переменных:

и т. д. или, в общем виде,

. (13)

Следует подчеркнуть одно из преимуществ описанного метода с точки зрения его практической реализации в рамках программного обеспечения для ЭВМ: на каждом шаге алгоритма непосредственно используется только таблица, полученная на предыдущем шаге, т. е. нет необходимости сохранять ранее полученные таблицы. Последнее позволяет существенно экономить ресурсы компьютера.

Выигрыш, который дает применение рассмотренного алгоритма, может также быть оценен с помощью следующего простого примера. Сравним приблизительно по числу операций (состоящих, в основном, из вычислений целевой функции) описанный метод с прямым перебором допустимых планов задачи (3)-(4) при

Количество допустимых планов такой задачи совпадает с количеством целочисленных решений уравнения

т. е. равно числу сочетаний с повторениями из п элементов по b. Следовательно, при простом переборе число возможных вариантов составит

.

В случае применения метода динамического программирования для вычисления таблицы значений функции при фиксированном необходимо выполнить операций. Поэтому для заполнения одной таблицы необходимо проделать

операций, из чего получаем, что для вычисления всех функций , и потребуется

операций, что при больших п и b существенно меньше, чем в первом случае. Например, если и , то непосредственный перебор потребует выполнения 324632 операций, а метод динамического программирования - только 2511.