Симплексный метод решения задачи линейного программирования

Пусть имеется ЗЛП, записанная в стандартной форме:

max , (1)

(2)

Обозначим через и векторы-столбцы:

, и через - вектор-строку .

Тогда условия (1) и (2) можно записать в виде

max , или max ,

Прежде чем приступить к обоснованию симплексного метода, множество всех векторов , удовлетворяющих условию , обозначим через и введем несколько определений:

Определение 1. Линейная функция, определенная на выпуклом многограннике К, достигает своего оптимального значения в крайней точке этого многогранника.

Определение 2. Допустимая точка называется базисной или опорной (опорным планом), если она соответствует крайней точке многогранника решений;

Определение 3. Допустимая точка называется вырожденной, если менее чем значений отличны от нуля ( - число ограничений в задаче);

Определение 4. Если X – крайняя точка многогранника К, то не более её координат отличны от нуля, и векторы , коэффициенты при которых отличны от нуля, линейно независимы.

Пусть - крайняя точка многогранника решений , определяемого равенством ,причем координат точки отличны от нуля, т.е.

- невырожденный опорный план задачи.

Согласно определению 4, векторы линейно независимы и образуют базис -мерного пространства. Функция цели в точке принимает значение

и равенство объединяется в равенство (3)

Найдём опорный план , которому соответствует значение функции цели . Поскольку векторы образуют базис, то любой вектор может быть представлен в виде линейной комбинации этих векторов . Выберем вектор и, умножив его на число , прибавим к левой части равенства (3), а затем вычтем из неё , в результате получим

(4)

Так как , то получим .

Таким образом, если выбрать точку с координатами

то она будет удовлетворять условию и, если при этом все координаты точки будут неотрицательны, т.е. (5) , то будет допустимой точкой задачи. Условие (5) выполняется, если выбрать , (6)

где берётся min только положительных отношений и . В случае, когда все , величину можно выбрать как угодно большой. Это свидетельствует о неограниченности многогранника решений. Пусть выбрано , удовлетворяющее условию (6); тогда имеем в предположении, что : . Координаты второй точки будут:

При выборе в соответствии с (6) обращается в нуль лишь одна координата , поэтому новое решение , как и старое , содержит положительных координат. Таким образом точка является опорным планом задачи и переход от плана к плану соответствует переходу от одной крайней точки многогранника решений к другой.

Выясним, как следует выбирать вектор , чтобы при переходе от одной крайней точки к другой линейная функция по крайней мере не убывала.

Точке соответствует значение функции цели , равное

Преобразовав это выражение для , получим , где . Очевидно , если .