Система двох дискретних випадкових величин

Локальна теорема Лапласа.

Якщо ймовірність появи випадкової події в кожному з n незалеж­них експериментів є величиною сталою і дорівнює , то для великих значень n і m імовірність того, що випадкова подія А настане m раз, подається такою асимптотичною формулою:

,

де ℮

називається функцією Гаусса.

.

_________________________________

Інтегральна теорема Лапласа.

Якщо ймовірність появи випадкової події в кожному з n незалеж­них експериментів є величиною сталою і дорівнює , то для великих значень n імовірність появи випадкової події від m_і до m_j раз обчислюється за такою асимптотичною формулою:

,

де ,

а є функцією Лапласа, значення якої наведено в таблиці.

___________________________________

18. Використання інтегральної теореми.

,

де ,

За допомогою цих формул можна оцінити близькість відносної частоти W(А) до ймовірності p випадкової події А. Нехай p — імовірність появи випадкової події А в кожному експерименті за схемою Бернул­лі й W(А) — відносна частота появи цієї події при n експериментах.

Необхідно оцінити ймовірність події ôW(A) – рô< e (e > 0 і є малою величиною). Якщо n набуває великих значень, то можна дістати:

.

_________________________________

Формула Пуассона.

При за умови np=a= =const імовірність появи випадкової події m раз обчислюється за такою асимптотичною формулою:

,

яка називається формулою Пуассона.

Функція Р_n (m) визначається за таблицею за заданим m і обчисленим значенням а = np.

_________________________________

20. Дискретні та неперервні величини. Закони розподілу їх ймовірностей.

Розглянемо такий простір елементарних подій, в якому кожній елементарній події Ώ відповідає одне і лише одне число х або набір чисел , тобто на множині Ώ визначена певна функ­ція , яка кожній елементарній події ставить у відповідність певний елемент одновимірного простору R₁ або n-вимірного простору R_n.

Цю функцію називають випадковою величиною. У разі, коли відображає множину Ώ на одновимірний простір R₁, випадкову величину називають одновимірною. Якщо відображення здійснюється на R_n, то випадкову величину називають n-вимірною.

Величина називається випадковою, якщо внаслідок проведення експерименту під впливом випадкових факторів вона набуває того чи іншого можливого числового значення з певною ймовірністю. Якщо множина можливих значень випадкової величини є зчисленною то таку величину називають дискретною. У противному разі її називають неперервною.

Співвідношення, що встановляє зв’язок між можливими значеннями випадкової величини та відповідними їм імовірностями, називають законом розподілу випадкової величини.

Закони розподілу дискретних випадкових величин задаються у табличній формі, аналітичній, графічній. Універсальним способом задання закону розподілу ймовірностей є функція розподілу Для дискретних величин

_________________________________

21. Функція розподілу ймовірностей та її властивості.

Закон розподілу ймовірностей можна подати у формі, яка придатна і для дискретних, і для неперервних випадкових величин, а саме: як функцію розподілу ймовірностей випадкової величини F(х), так звану інтегральну функцію.

Функцію аргументу х, що визначає ймовірність випадкової події Х < x, називають функцією розподілу ймовірностей:

F(x) = P(X < x) (1)

Властивості F(x):

1.

2. є неспадною функцією, а саме , якщо .

_________________________________

22. Щільність ймовірностей та її властивості.

Для неперервних випадкових величин закон розподілу ймовірностей зручно описувати з допомогою щільності ймовірностей, яку позначають f (x). Щільністю ймовірностей неперервної випадкової величини Х називається перша похідна від інтегральної функції F(x):

звідки

Властивості f (x)

1. .

2. Умова нормування неперервної випадкової величини Х:

3. Імовірність попадання неперервної випадкової величини в інтервалі обчислюється за формулою

4. Функція розподілу ймовірностей неперервної випадкової величини має вигляд

_________________________________

23. Математичне сподівання.

Однією з найчастіше застосовуваних на практиці характеристик є математичне сподівання.

Математичним сподіванням випадкової величини Х, визначеною на дискретному просторі Ω, називається величина

Якщо простір Ω є неперервним, то математичним сподіванням неперервної випадкової величини Х називається величина

Якщо випадкова величина Х Î [а; b], то М (Х) Î [а; b], а саме: математичне сподівання випадкової величини має обов’язково міститься всередині інтервалу [а; b], являючи собою центр розподілу цієї величини.

_________________________________

24. Властивості математичного сподівання.

1. Математичне сподівання від сталої величини С дорівнює самій сталій:

М (С) = С.

2. М (СХ) = СМ (Х).

Для дискретної випадкової величини маємо

.

Для неперервної:

3. Якщо А і В є сталими величинами, то

.

_________________________________

25. Мода та медіана.

Модою (Мo) дискретної випадкової величини Х називають те її можливе значення, якому відповідає найбільша ймовірність появи.

Модою для неперервної випадкової величини Х називають те її можливе значення, якому відповідає максимальне значення щільності ймовірності:

f (Mо) = max.

Якщо випадкова величина має одну моду, то такий розподіл імовірностей називають одномодальним; якщо розподіл має дві моди — двомодальним і т. ін. Існують і такі розподіли, які не мають моди. Їх називають антимодальними.

Медіаною (Ме) неперервної випадкової величини Х називають те її значення, для якого виконуються рівність імовірностей подій:

Ме можна знайти, скориставшись щільністю ймовірностей:

(2)

або при Х Î [а; b]:

. (3)

Отже, Ме — можливе значення випадкової величини Х, причому таке, що пряма, проведена перпендикулярно до відповідної точки на площині Х = Ме, поділяє площу фігури, яка обмежена функцією f (x), на дві рівні частини.

_________________________________

26. Дисперсія та середньоквадратичне відхилення.

Математичне сподівання називають центром розсіювання. Для вимірювання розсіювання вводиться числова характеристика, яку називають дисперсією.

Для визначення дисперсії розглядається відхилення випадкової величини Х від свого математичного сподівання (Х – М (Х))

Дисперсією випадкової величини Х називається математичне сподівання квадрата відхилення цієї величини

.

Для дискретної випадкової величини Х дисперсія

;

для неперервної

.

Якщо Х Î [а; b],

то .

Якщо випадкова величина виміряна в деяких одиницях, то дисперсія вимірюватиметься в цих самих одиницях, але в квадраті.

Тому доцільно мати числову характеристику такої самої вимірності, як і випадкова величина. Такою числовою характеристикою є середнє квадратичне відхилення.

Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини Х називають корінь квадратний із дисперсії:

.

_________________________________

27. Властивості дисперсії.

1. Якщо С — стала величина, то

.

Справді

.

2. . (2)

Маємо:

3. Якщо А і В — сталі величини, то

.

Адже

Дисперсію можна обчислити і за такою формулою:

Для дискретної випадкової величини Х

;

для неперервної

Дисперсія не може бути від’ємною величиною .

Дисперсія характеризує розсіювання випадкової величини відносно свого математичного сподівання.

_________________________________

28. Початкові та центральні моменти.

Початковим моментом k-го порядку випадкової величини Х називають математичне сподівання величини Х ^k:

.

Для дискретної випадкової величини Х

;

для неперервної

.

Центральним моментом k-го порядку називається математичне сподівання від (Х – М(Х))^k:

(5)

Для дискретної випадкової величини

для неперервної

.

_________________________________

29. Асиметрія та ексцес.

Третій центральний момент характеризує асиметрію закону розподілу випадкової величини. Якщо m₃ = 0, то випадкова величина Х симетрично розподілена відносно М(Х). Оскільки m₃ має розмірність випадкової величини в кубі, то вводять безрозмірну величину — коефіцієнт асиметрії:

.

Центральний момент четвертого порядку використовується для визначення ексцесу, що характеризує плосковершинність, або гостровершинність щільності ймовірності f (x). Ексцес обчислюється за формулою

_________________________________

Система двох дискретних випадкових величин.

На одному й тому самому просторі елементарних подій W можна визначити не одну, а кілька випадкових величин. Така потреба постає, наприклад, коли досліджуваний об’єкт характеризується кількома випадковими параметрами.

Сукупність випадкових величин які розглядаються спільно, називається системою випадкових величин. Якщо тобто розглядається система двох випадкових величин , то геометрично її можна тлумачити як випадкову точку з координатами на площині або як випадковий вектор, складові якого — випадкові величини

Одночасна поява внаслідок проведення експерименту n випадкових величин (X₁, X₂, …, X_n) з певною ймовірністю являє собою n-вимірну випадкову величину, яку називають також системою n випадкових величин, або n-вимірним випадковим вектором.

_________________________________

31. Закон розподілу ймовірностей дискретної двомірної величини.

Законом розподілу двох дискретних випадкових величин називають перелік можливих значень Y = y_i , X = x_j та відповідних їм імовірностей спільної появи.

У табличній формі цей закон має такий вигляд:

X=xj Y=yi	x1	x2	…	xm	pyi
y1	p11	p12		p1m	py1
y2	p21	p22		p2m	py2
y3	p31	p32		p3m	py3
…	…	…	…	…	…
yk	pk1	pk2	…	pkm	pym
pxj	px1	px2	…	pxm

Тут використано такі позначення

Умова нормування має такий вигляд:

_________________________________

32. Коефіцієнт кореляції та його властивості.

Під час вивчення системи двох і більше випадкових величин доводиться з’ясовувати наявність зв’язку між цими величинами та його характер. З відповідною метою застосовують так званий кореляційний момент:

У разі Κ_ху = 0 зв’язок між величинами Х та Y відсутній.

Тісноту кореляційного зв’язку характеризує коефіцієнт кореляції:

, або .

Якщо випадкові величини Х та Y є незалежними, то Κ_ху = 0 і r_ху = 0. Рівність нулеві r_ху є необхідною, але не достатньою умовою незалежності випадкових величин.

Дві випадкові величини Х і Y називають некорельованими, якщо r_ху = 0, і корельованими, якщо r_ху ¹ 0.

_________________________________

33. Функція розподілу ймовірностей системи двох випадкових величин та її властивості.

Функцією розподілу ймовірностей системи двох випадкових величин (Х, Y) називають таку функцію двох аргументів х, у, яка визначає ймовірність спільної появи подій (X < x) I (Y < y):

F(x,y) = P((X < x) I (Y < y)).

Властивості F(x, y)

1. 0 £ F(x, y) £ 1, оскільки 0 £ P((X < x) I (y < y)) £ 1.

2. Якщо один із аргументів F(x, y) прямує до + , то функція розподілу системи прямує до функції розподілу одного аргументу, що не прямує до + , а саме:

3.

4.

5. F(x, y) є неспадною функцією аргументів х і у.

Р(а < Х < b, Y < y) = F(b, y) – F(a, y);

P(X < x, c < Y < d) = F(x, d) – F(x, c).

6. Імовірність влучення точки (Х, Y) в довільний прямокутник (a < X< b, c < Y < d) обчислюємо так:

P(a < x < b, c < y < d) = F(b, d) + F(a, c) – F(a, d) – F(b, c).

_________________________________

34. Щільність розподілу двомірної випадкової величини.

Характеристикою системи неперервних випадкових величин є щільність імовірностей.

Функція f (x, y) може існувати лише за умови, що F (x, y) є неперервною за аргументами х і у та двічі диференційовною.

Властивості f (x, y)

1. Функція f (x, y) ³ 0, оскільки F(x, y) є неспадною відносно аргументів х і у.

2. Умова нормування системи двох неперервних випадкових величин (Х, Y) така:

.

3. Імовірність розміщення системи змінних (х, у) в області обчислюється так:

4. Функція розподілу ймовірностей системи двох змінних визначається з рівняння

5. Якщо , то

_________________________________

35. Основні числові характеристики системи двох неперервних випадкових величин (Х,У).

_________________________________

36. Ймовірність влучення випадкових точок у прямокутник.

Імовірність влучення точки (Х, Y) в довільний прямокутник (a < X< b, c < Y < d) обчислюємо так:

P(a < x < b, c < y < d) = F(b, d) + F(a, c) – F(a, d) – F(b, c).

Доведення.

Розглянемо такі випадкові події:

A = (X < b, Y < d); B = (X < a, Y < c); C = (a < X < b, Y < c); D = (X < a, c < Y < d); E = (a < X < b, c < Y < d).

Оскільки випадкові події B, C, D, E несумісні, маємо:

A = B U C U D U E.

P(A) = P(B U C U D U E) = P(B) + P(C) + P(D) + P(E).

P(x < b, y < d) = P(x < a, y < c) + P(a < x < b, y < c) + P(х < a, c < у < d) + P(a < x < b, c < y < d).

F(b, d) = F(a, c) + F(b, c) – F(a, c) + F(a, d) – F(a, c) + P(a<X<b,c<Y<d);

P(a<X<b,c<Y<d)=F(b,d)+F(a,c)–F(a, d) – F(b, c), що й треба було довести.

_________________________________

37. Функція 1-ого випадкового аргументу.

Функцією випадкового аргументу Х називають таку випадкову величину Y, яка набуває значення Y = у = (х) щоразу, коли Х = х, де є невипадковою функцією. Якщо Х є дискретною випадковою величиною, то і функція випадкового аргументу Y = (х) буде дискретною.

Коли Х є неперервною випадковою величиною, то і Y = (х) буде неперервною.

1) Нехай закон дискретної випадкової величини Х задано таблицею:

Х = хi	x1	x2	............	xk
P(X = xi) = pi	p1	p2	.............	pk

Тоді закон розподілу випадкової величини Y = (х) матиме такий вигляд:

Y = α (хi)	α (х1)	α (х2)	..........	α (хk)
P(Y = α (хi) = рi	p1	p2	.........	pk

Умова нормування для f (у):

.

За знайденою f (у) функцією розподілу ймовірностей визначається

.

_________________________________

38. Математичне сподівання функції 1-ого випадкового аргументу.

Функцією випадкового аргументу Х називають таку випадкову величину Y, яка набуває значення Y = у = (х) щоразу, коли Х = х, де є невипадковою функцією. Якщо Х є дискретною випадковою величиною, то і функція випадкового аргументу Y = (х) буде дискретною.

Коли Х є неперервною випадковою величиною, то і Y = (х) буде неперервною.

Математичне сподівання дискретного випадкового аргументу

Математичне сподівання функцій неперервного випадкового аргументу:

;

_________________________________

39. Функції 2-х випадкових аргументів.

У загальному випадку функцію двох аргументів Х і Y можна позначити як

,

де є невипадковою функцією.

Якщо Х та Y є дискретними випадковими величинами, то і Z буде дискретною. Якщо Х та Y є неперервними, то і Z буде неперервною.

_________________________________

40. Математичне сподівання суми двох випадкових аргументів.

Математичне сподівання.

М (Х + Y) = М (Х) + М (Y). (1)

Висновок 1.

М(АХ+ВY+С)=АМ(Х)+ВМ(Y)+С.

А, В, С — деякі сталі.

Висновок 2.

.

_________________________________

41. Біноміальний розподіл.

Цілочислова випадкова величина X має біноміальний закон розподілу, якщо ймовірність її можливих значень обчислюється за формулою Бернуллі:

При перевірці виконання умови нормування використовується формула біному Ньютона, тому закон розподілу називають біноміальним:

.

Імовірнісна твірна функція для біноміального закону

.

Основні числові характеристики:

.

;

.

_________________________________

42. Закон розподілу неперервної випадкової величини. Рівномірний розподіл.

Цілочислова випадкова величина Х має рівномірний закон розподілу, якщо ймовірності її можливих значень обчислюються за формулою:

. (1)

Імовірнісна твірна функція:

.

Числові характеристики:

.

_________________________________

43. Нормальний розподіл.

Випадкова величина Х має нормальний закон розподілу ймовірностей, якщо

f (х) = ,

де а = М (X), s = s (X). Отже, нормальний закон визначається звідси параметрами а і s і називається загальним.

Тоді

F(x)= dx. (2)

Для нормального закону Мо=Ме=а.

Загальний нормальний закон позначають: N (a; s).

_________________________________