Геом задача повышенной сложности

Треугольники

Четырехугольники

Окружности

Комбинации

Треугольники

Задание 26 № 78

1.Через се­ре­ди­ну K ме­ди­а­ны BM тре­уголь­ни­ка ABC и вер­ши­ну A про­ве­де­на прямая, пе­ре­се­ка­ю­щая сто­ро­ну BC в точке P. Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABK к пло­ща­ди четырёхугольника KPCM.

Решение.

Геом задача повышенной сложности - student2.ru Проведём от­ре­зок MT, па­рал­лель­ный AP. Тогда MT — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка APC и CT = TP, а KP — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка BMT и TP = BP. Обо­зна­чим пло­щадь тре­уголь­ни­ка BKP через Геом задача повышенной сложности - student2.ru . Тогда пло­щадь тре­уголь­ни­ка KPС, име­ю­ще­го ту же вы­со­ту и вдвое боль­ше основание, равна Геом задача повышенной сложности - student2.ru . Зна­чит пло­щадь тре­уголь­ни­ка CKB равна Геом задача повышенной сложности - student2.ru и равна пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка СMK (треугольники имеют одну высоту, проведённую из вер­ши­ны С, и рав­ные рав­ные основания), ко­то­рая в свою оче­редь равна пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка AMK. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВК равна пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка АМК. Итак, Геом задача повышенной сложности - student2.ru Геом задача повышенной сложности - student2.ru Геом задача повышенной сложности - student2.ru Геом задача повышенной сложности - student2.ru Значит, Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Ответ: 0,6.

Критерии проверки:

Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1301.

Задание 26 № 311242

2.Площадь тре­уголь­ни­ка ABC равна 80. Бис­сек­три­са AD пе­ре­се­ка­ет ме­ди­а­ну BK в точке E, при этом BD:CD=1:3. Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка EDCK.

Решение.

Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Пусть AK=KC=3x, тогда AB=2x, так как Геом задача повышенной сложности - student2.ru по свой­ству биссектрисы. Значит, Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Пусть S - пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, тогда

Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Таким образом, Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Ответ: 36.

Критерии проверки:

Задание 26 № 340325

3.В тре­уголь­ни­ке ABC на его ме­ди­а­не BM от­ме­че­на точка K так, что BK : KM = 4 : 1. Прямая AK пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну BC в точке P. Найдите от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABK к пло­ща­ди четырёхугольника KPCM.

Решение.

Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Пусть площадь треугольника Геом задача повышенной сложности - student2.ru равна Геом задача повышенной сложности - student2.ru Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, значит, Геом задача повышенной сложности - student2.ru У треугольников Геом задача повышенной сложности - student2.ru и Геом задача повышенной сложности - student2.ru высота, проведенная к стороне Геом задача повышенной сложности - student2.ru общая, поэтому площади этих треугольников относятся как их основания Геом задача повышенной сложности - student2.ru и Геом задача повышенной сложности - student2.ru откуда:

Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Проведём прямую Геом задача повышенной сложности - student2.ru параллельную Геом задача повышенной сложности - student2.ru Точка Геом задача повышенной сложности - student2.ru — середина Геом задача повышенной сложности - student2.ru следовательно, Геом задача повышенной сложности - student2.ru — средняя линия треугольника Геом задача повышенной сложности - student2.ru значит, Геом задача повышенной сложности - student2.ru По теореме Фалеса для угла Геом задача повышенной сложности - student2.ru находим: Геом задача повышенной сложности - student2.ru а так как Геом задача повышенной сложности - student2.ru получаем, что Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Стороны треугольников Геом задача повышенной сложности - student2.ru и Геом задача повышенной сложности - student2.ru сонаправлены, их площади относятся как произведение отношений сонаправленных сторон, поэтому

Геом задача повышенной сложности - student2.ru

то есть Геом задача повышенной сложности - student2.ru откуда Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Тем самым, для искомого отношения площадей имеем:

Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Ответ: Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Критерии проверки:

Задание 26 № 314829

4. Геом задача повышенной сложности - student2.ru

На ри­сун­ке изоб­ражён ко­ло­дец с «жу­равлём». Ко­рот­кое плечо имеет длину 2 м, а длин­ное плечо — 6 м. На сколь­ко мет­ров опу­стит­ся конец длин­но­го плеча, когда конец ко­рот­ко­го под­ни­мет­ся на 0,5 м?

Решение.

Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на рисунке. Здесь AC — по­ло­же­ние «журавля» до опускания, BD — по­ло­же­ние после опускания, AH — высота, на ко­то­рую под­нял­ся конец ко­рот­ко­го плеча, CK — высота, на ко­то­рую опу­стил­ся конец длинного.

В рав­но­бед­рен­ных треугольниках AOB и COD углы AOB и COD, про­ти­во­ле­жа­щие основаниям, равны как вертикальные, по­это­му равны и углы при их основаниях. Тем самым, эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны по двум углам, и

Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Накрест ле­жа­щие углы 1 и 2, об­ра­зо­ван­ные при пе­ре­се­че­нии секущей BD пря­мых AB и CD, равны, по­это­му пря­мые AB и CD параллельны. Тогда сто­ро­ны углов 3 и 4 по­пар­но па­рал­лель­ны, а значит, эти углы равны.

Следовательно, пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки AHB и CDK подобны, по­сколь­ку имеют рав­ные ост­рые углы. Имеем:

Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Ответ: 1,5.

Критерии проверки:

Источник: Банк заданий ФИПИ

Задание 26 № 314841

5.Через се­ре­ди­ну K ме­ди­а­ны BM тре­уголь­ни­ка ABC и вер­ши­ну A про­ве­де­на пря­мая, пе­ре­се­ка­ю­щая сто­ро­ну BC в точке P. Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди четырёхуголь­ни­ка KPCM к пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка AMK.

Решение.

Геом задача повышенной сложности - student2.ru Проведём от­ре­зок Геом задача повышенной сложности - student2.ru па­рал­лель­ный Геом задача повышенной сложности - student2.ru вспомним, что точка Геом задача повышенной сложности - student2.ru — се­ре­ди­на Геом задача повышенной сложности - student2.ru сле­до­ва­тель­но, Геом задача повышенной сложности - student2.ru — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка Геом задача повышенной сложности - student2.ru зна­чит Геом задача повышенной сложности - student2.ru Ана­ло­гич­но Геом задача повышенной сложности - student2.ru — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка Геом задача повышенной сложности - student2.ru то есть Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Пусть пло­щадь тре­уголь­ни­ка Геом задача повышенной сложности - student2.ru равна Геом задача повышенной сложности - student2.ru Рас­смот­рим тре­уголь­ник Геом задача повышенной сложности - student2.ru он имеет общую вы­со­ту с тре­уголь­ни­ком Геом задача повышенной сложности - student2.ru и вдвое боль­шее основание, сле­до­ва­тель­но его пло­щадь равна Геом задача повышенной сложности - student2.ru Пло­щадь тре­уголь­ни­ка Геом задача повышенной сложности - student2.ru равна Геом задача повышенной сложности - student2.ru и такую же пло­щадь имеет тре­уголь­ник Геом задача повышенной сложности - student2.ru по­сколь­ку они имеют одну высоту, проведённую из вер­ши­ны Геом задача повышенной сложности - student2.ru и рав­ные основания. Ана­ло­гич­но пло­щадь тре­уголь­ни­ка Геом задача повышенной сложности - student2.ru равна пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка Геом задача повышенной сложности - student2.ru а пло­щадь тре­уголь­ни­ка Геом задача повышенной сложности - student2.ru равна пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Подведём итог:

Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Отношение пло­ща­ди четырёхугольника Геом задача повышенной сложности - student2.ru к пло­ща­ди четырёхугольника Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Ответ: Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Критерии проверки:

Источник: Банк заданий ФИПИ

Задание 26 № 315070

6.Ме­ди­а­на BM и бис­сек­три­са AP тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K, длина сто­ро­ны AC втрое боль­ше длины сто­ро­ны AB. Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди че­ты­рех­уголь­ни­ка KPCM к пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABC.

Решение.

Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Пусть пло­щадь тре­уголь­ни­ка Геом задача повышенной сложности - student2.ru равна Геом задача повышенной сложности - student2.ru Ме­ди­а­на делит тре­уголь­ник на два рав­но­ве­ли­ких треугольника, по­это­му Геом задача повышенной сложности - student2.ru Бис­сек­три­са делит пло­щадь тре­уголь­ни­ка про­пор­ци­о­наль­но при­ле­жа­щим сторонам, то есть:

Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Откуда Геом задача повышенной сложности - student2.ru Геом задача повышенной сложности - student2.ru Рас­смот­рим тре­уголь­ник Геом задача повышенной сложности - student2.ru Геом задача повышенной сложности - student2.ru — биссектриса, следовательно:

Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Откуда Геом задача повышенной сложности - student2.ru Геом задача повышенной сложности - student2.ru Вы­ра­зим пло­щадь тре­уголь­ни­ка Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Найдём от­но­ше­ние пло­ща­ди четрёхуголь­ни­ка Геом задача повышенной сложности - student2.ru к пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Ответ: Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Критерии проверки:

Источник: Банк заданий ФИПИ

Задание 26 № 314866

7.Ме­ди­а­на BM и бис­сек­три­са AP тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K, длина сто­ро­ны AC втрое боль­ше длины сто­ро­ны AB. Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABK к пло­ща­ди четырёхуголь­ни­ка KPCM.

Решение.

Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Пусть пло­щадь тре­уголь­ни­ка Геом задача повышенной сложности - student2.ru равна Геом задача повышенной сложности - student2.ru Ме­ди­а­на делит тре­уголь­ник на два рав­но­ве­ли­ких треугольника, по­это­му Геом задача повышенной сложности - student2.ru Бис­сек­три­са делит пло­щадь тре­уголь­ни­ка про­пор­ци­о­наль­но при­ле­жа­щим сторонам, то есть:

Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Откуда Геом задача повышенной сложности - student2.ru Геом задача повышенной сложности - student2.ru Рас­смот­рим тре­уголь­ник Геом задача повышенной сложности - student2.ru Геом задача повышенной сложности - student2.ru — биссектриса, следовательно:

Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Откуда Геом задача повышенной сложности - student2.ru Геом задача повышенной сложности - student2.ru Вы­ра­зим пло­щадь тре­уголь­ни­ка Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Найдём от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка Геом задача повышенной сложности - student2.ru к пло­ща­ди четырёхугольника Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Ответ: Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Критерии проверки:

Источник: Банк заданий ФИПИ

Задание 26 № 316361

8.Найдите ост­рые углы пря­мо­уголь­но­го треугольника, если его ги­по­те­ну­за равна 12, а пло­щадь равна 18.

Решение.

Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Из вер­ши­ны Геом задача повышенной сложности - student2.ru пря­мо­го угла пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка Геом задача повышенной сложности - student2.ru проведём ме­ди­а­ну Геом задача повышенной сложности - student2.ru и вы­со­ту Геом задача повышенной сложности - student2.ru Тогда

Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Геом задача повышенной сложности - student2.ru

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке Геом задача повышенной сложности - student2.ru катет Геом задача повышенной сложности - student2.ru равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы Геом задача повышенной сложности - student2.ru по­это­му Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Следовательно, Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Ответ: 15°, 75° .

Критерии проверки:

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная работа по ма­те­ма­ти­ке 19.02.2014 ва­ри­ант МА90501.

Задание 26 № 333323

9.В тре­уголь­ни­ке ABC бис­сек­три­са BE и ме­ди­а­на AD пер­пен­ди­ку­ляр­ны и имеют оди­на­ко­вую длину, рав­ную 96. Най­ди­те сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка ABC .

Решение.

Геом задача повышенной сложности - student2.ru Пусть Геом задача повышенной сложности - student2.ru — точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ков Геом задача повышенной сложности - student2.ru и Геом задача повышенной сложности - student2.ru (см. рис.). Тре­уголь­ник Геом задача повышенной сложности - student2.ru — равнобедренный, так как его бис­сек­три­са Геом задача повышенной сложности - student2.ru яв­ля­ет­ся высотой. По­это­му

Геом задача повышенной сложности - student2.ru ; Геом задача повышенной сложности - student2.ru .

По свой­ству бис­сек­три­сы треугольника

Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Проведём через вер­ши­ну Геом задача повышенной сложности - student2.ru прямую, па­рал­лель­ную Геом задача повышенной сложности - student2.ru . Пусть Геом задача повышенной сложности - student2.ru — точка пе­ре­се­че­ния этой пря­мой с про­дол­же­ни­ем ме­ди­а­ны Геом задача повышенной сложности - student2.ru . Тогда Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков Геом задача повышенной сложности - student2.ru и Геом задача повышенной сложности - student2.ru следует, что Геом задача повышенной сложности - student2.ru По­это­му Геом задача повышенной сложности - student2.ru и Геом задача повышенной сложности - student2.ru Следовательно

Геом задача повышенной сложности - student2.ru ; Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Геом задача повышенной сложности - student2.ru ; Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Ответ: Геом задача повышенной сложности - student2.ru ; Геом задача повышенной сложности - student2.ru ; Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Критерии проверки:

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 06.05.2014 ва­ри­ант МА90701.

Задание 26 № 339514

10.Медиана BM и бис­сек­три­са AP тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K, длина сто­ро­ны AC от­но­сит­ся к длине сто­ро­ны AB как 9:7. Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABK к пло­ща­ди четырёхугольника KPCM.

Решение.

Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Пусть пло­щадь тре­уголь­ни­ка Геом задача повышенной сложности - student2.ru равна Геом задача повышенной сложности - student2.ru Ме­ди­а­на делит тре­уголь­ник на два рав­но­ве­ли­ких треугольника, по­это­му Геом задача повышенной сложности - student2.ru Бис­сек­три­са делит пло­щадь тре­уголь­ни­ка про­пор­ци­о­наль­но при­ле­жа­щим сторонам, то есть:

Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Откуда Геом задача повышенной сложности - student2.ru Геом задача повышенной сложности - student2.ru Рас­смот­рим тре­уголь­ник Геом задача повышенной сложности - student2.ru Геом задача повышенной сложности - student2.ru — биссектриса, следовательно:

Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Откуда Геом задача повышенной сложности - student2.ru Геом задача повышенной сложности - student2.ru Вы­ра­зим пло­щадь тре­уголь­ни­ка Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Найдём от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка Геом задача повышенной сложности - student2.ru к пло­ща­ди четырёхугольника Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Ответ: Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Критерии проверки:

Задание 26 № 311252

11.Стороны Геом задача повышенной сложности - student2.ru тре­уголь­ни­ка Геом задача повышенной сложности - student2.ru равны Геом задача повышенной сложности - student2.ru соответственно. Точка Геом задача повышенной сложности - student2.ru рас­по­ло­же­на вне тре­уголь­ни­ка Геом задача повышенной сложности - student2.ru при­чем отрезок Геом задача повышенной сложности - student2.ru пе­ре­се­ка­ет отрезок Геом задача повышенной сложности - student2.ru в точке, от­лич­ной от Геом задача повышенной сложности - student2.ru Известно, что тре­уголь­ник с вер­ши­на­ми Геом задача повышенной сложности - student2.ru и Геом задача повышенной сложности - student2.ru по­до­бен исходному. Най­ди­те косинус угла Геом задача повышенной сложности - student2.ru если Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Решение.

Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Рассмотрим по­доб­ные треугольники Геом задача повышенной сложности - student2.ru и Геом задача повышенной сложности - student2.ru и уста­но­вим соответствие между их углами. Геом задача повышенной сложности - student2.ru —наибольшая сто­ро­на треугольника Геом задача повышенной сложности - student2.ru а значит, Геом задача повышенной сложности - student2.ru — наи­боль­ший угол тре­уголь­ни­ка Геом задача повышенной сложности - student2.ru Так как в тре­уголь­ни­ке Геом задача повышенной сложности - student2.ru есть тупой угол Геом задача повышенной сложности - student2.ru то в тре­уголь­ни­ке Геом задача повышенной сложности - student2.ru это угол Геом задача повышенной сложности - student2.ru Следовательно, угол Геом задача повышенной сложности - student2.ru тре­уголь­ни­ка Геом задача повышенной сложности - student2.ru не равен углу Геом задача повышенной сложности - student2.ru тре­уголь­ни­ка Геом задача повышенной сложности - student2.ru Он также не равен углу Геом задача повышенной сложности - student2.ru т. к. боль­ше его (луч Геом задача повышенной сложности - student2.ru про­хо­дит между лу­ча­ми Геом задача повышенной сложности - student2.ru и Геом задача повышенной сложности - student2.ru ). Следовательно, Геом задача повышенной сложности - student2.ru . По тео­ре­ме косинусов в тре­уголь­ни­ке Геом задача повышенной сложности - student2.ru имеем:

Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Ответ: Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Критерии проверки:

Задание 26 № 340065

12.Одна из бис­сек­трис тре­уголь­ни­ка де­лит­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис в от­но­ше­нии 40:1, счи­тая от вершины. Най­ди­те пе­ри­метр треугольника, если длина сто­ро­ны треугольника, к ко­то­рой эта бис­сек­три­са проведена, равна 30.

Решение.

Геом задача повышенной сложности - student2.ru Проведем по­стро­е­ния и введём обозначения как по­ка­за­но на рисунке. Рас­смот­рим тре­уголь­ник Геом задача повышенной сложности - student2.ru Геом задача повышенной сложности - student2.ru — биссектриса, по свой­ству биссектрисы:

Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Рассмотрим тре­уголь­ник Геом задача повышенной сложности - student2.ru Геом задача повышенной сложности - student2.ru — биссектриса, по свой­ству биссектрисы:

Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Складывая два по­лу­чив­ших­ся равенства, получаем:

Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Таким образом, пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка Геом задача повышенной сложности - student2.ru равен 1230.

Ответ: 1230.

Критерии проверки:

Задание 26 № 351296

13.Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 28, а площадь равна 98.

Решение.

Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Из вер­ши­ны Геом задача повышенной сложности - student2.ru пря­мо­го угла пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка Геом задача повышенной сложности - student2.ru проведём ме­ди­а­ну Геом задача повышенной сложности - student2.ru и вы­со­ту Геом задача повышенной сложности - student2.ru Тогда

Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Геом задача повышенной сложности - student2.ru

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке Геом задача повышенной сложности - student2.ru катет Геом задача повышенной сложности - student2.ru равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы Геом задача повышенной сложности - student2.ru по­это­му Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Следовательно, Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Ответ: 15°, 75° .

Задание 26 № 352418

14.В треугольнике Геом задача повышенной сложности - student2.ru на его медиане Геом задача повышенной сложности - student2.ru отмечена точка Геом задача повышенной сложности - student2.ru так, что Геом задача повышенной сложности - student2.ru . Найдите отношение площади треугольника Геом задача повышенной сложности - student2.ru к площади треугольника Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Решение.

Геом задача повышенной сложности - student2.ru По свойству медианы, медиана Геом задача повышенной сложности - student2.ru делит треугольник Геом задача повышенной сложности - student2.ru на два равновеликих, т.е. Геом задача повышенной сложности - student2.ru . Из условия известно, что Геом задача повышенной сложности - student2.ru . Следовательно, Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Ответ: 0,15

Задание 26 № 353377

15.Одна из бис­сек­трис тре­уголь­ни­ка де­лит­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис в от­но­ше­нии 7:2, счи­тая от вершины. Най­ди­те пе­ри­метр треугольника, если длина сто­ро­ны треугольника, к ко­то­рой эта бис­сек­три­са проведена, равна 16.

Решение.

Геом задача повышенной сложности - student2.ru Проведем по­стро­е­ния и введём обозначения как по­ка­за­но на рисунке. Рас­смот­рим тре­уголь­ник Геом задача повышенной сложности - student2.ru Геом задача повышенной сложности - student2.ru — биссектриса, по свой­ству биссектрисы:

Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Рассмотрим тре­уголь­ник Геом задача повышенной сложности - student2.ru Геом задача повышенной сложности - student2.ru — биссектриса, по свой­ству биссектрисы:

Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Складывая два по­лу­чив­ших­ся равенства, получаем:

Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Таким образом, пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка Геом задача повышенной сложности - student2.ru равен 72.

Ответ: 72.

Ответ: 72

Задание 26 № 353380

16.В тре­уголь­ни­ке ABC бис­сек­три­са BE и ме­ди­а­на AD пер­пен­ди­ку­ляр­ны и имеют оди­на­ко­вую длину, рав­ную 84. Най­ди­те сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка ABC.

Четырёхугольники

Задание 26 № 339388

1.Высота AH ромба ABCD делит сто­ро­ну CD на от­рез­ки DH = 21 и CH = 8. Най­ди­те вы­со­ту ромба.

Решение.

Геом задача повышенной сложности - student2.ru Введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на рисунке. Угол Геом задача повышенной сложности - student2.ru и Геом задача повышенной сложности - student2.ru равны как углы с вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми сторонами. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки Геом задача повышенной сложности - student2.ru и Геом задача повышенной сложности - student2.ru они прямоугольные, углы Геом задача повышенной сложности - student2.ru и Геом задача повышенной сложности - student2.ru равны, следовательно, эти тре­уголь­ни­ки подобны, от­ку­да Геом задача повышенной сложности - student2.ru Диа­го­на­ли ромба де­лят­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния пополам: Геом задача повышенной сложности - student2.ru Получаем:

Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка Геом задача повышенной сложности - student2.ru ис­поль­зуя тео­ре­му Пи­фа­го­ра найдём Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Ответ: 20.

-----------

Приведем дру­гое решение:

Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Критерии проверки:

Задание 26 № 339373

2.Вершины ромба рас­по­ло­же­ны на сто­ро­нах параллелограмма, а сто­ро­ны ромба па­рал­лель­ны диа­го­на­лям параллелограмма. Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­дей ромба и параллелограмма, если от­но­ше­ние диа­го­на­лей па­рал­ле­ло­грам­ма равно 28.

Решение.

Геом задача повышенной сложности - student2.ru Введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на рисунке. По­сколь­ку Геом задача повышенной сложности - student2.ru и Геом задача повышенной сложности - student2.ru получаем, что Геом задача повышенной сложности - student2.ru — параллелолограмм, следовательно, углы Геом задача повышенной сложности - student2.ru и Геом задача повышенной сложности - student2.ru равны. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки Геом задача повышенной сложности - student2.ru и Геом задача повышенной сложности - student2.ru угол Геом задача повышенной сложности - student2.ru — общий, углы Геом задача повышенной сложности - student2.ru и Геом задача повышенной сложности - student2.ru равны как со­от­вет­ствен­ные при па­рал­лель­ных прямых, углы Геом задача повышенной сложности - student2.ru и Геом задача повышенной сложности - student2.ru — аналогично, следовательно, тре­уголь­ни­ки Геом задача повышенной сложности - student2.ru и Геом задача повышенной сложности - student2.ru по­доб­ны по двум углам. От­ку­да Геом задача повышенной сложности - student2.ru Ана­ло­гич­но по­доб­ны тре­уголь­ни­ки Геом задача повышенной сложности - student2.ru и Геом задача повышенной сложности - student2.ru от­ку­да Геом задача повышенной сложности - student2.ru Пусть сто­ро­на ромба равна Геом задача повышенной сложности - student2.ru а длина ко­рот­кой диа­го­на­ли равна Геом задача повышенной сложности - student2.ru Сло­жим два по­лу­чен­ных уравнения:

Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Площадь ромба можно найти как про­из­ве­де­ние сто­рон на синус угла между ними: Геом задача повышенной сложности - student2.ru Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма можно найти как по­ло­ви­ну про­из­ве­де­ния диа­го­на­лей на синус угла между ними: Геом задача повышенной сложности - student2.ru Найдём от­но­ше­ние пло­ща­дей ромба и параллелограмма:

Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Ответ: Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Критерии проверки:

Задание 26 № 339398

3.Боковые сто­ро­ны AB и CD тра­пе­ции ABCD равны со­от­вет­ствен­но 20 и 25, а ос­но­ва­ние BC равно 5. Бис­сек­три­са угла ADC про­хо­дит через се­ре­ди­ну сто­ро­ны AB. Най­ди­те пло­щадь трапеции.

Решение.

Геом задача повышенной сложности - student2.ru Введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на рисунке. Про­дол­жим бис­сек­три­су до пе­ре­се­че­ния с пря­мой Геом задача повышенной сложности - student2.ru в точке Геом задача повышенной сложности - student2.ru Углы Геом задача повышенной сложности - student2.ru и Геом задача повышенной сложности - student2.ru равны как на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных прямых. Значит, Геом задача повышенной сложности - student2.ru следовательно, тре­уголь­ник Геом задача повышенной сложности - student2.ru — равнобедренный: Геом задача повышенной сложности - student2.ru Найдём Геом задача повышенной сложности - student2.ru Углы Геом задача повышенной сложности - student2.ru и Геом задача повышенной сложности - student2.ru равны как вертикальные. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки Геом задача повышенной сложности - student2.ru и Геом задача повышенной сложности - student2.ru сто­ро­ны Геом задача повышенной сложности - student2.ru и Геом задача повышенной сложности - student2.ru равны, углы Геом задача повышенной сложности - student2.ru и Геом задача повышенной сложности - student2.ru равны как вертикальные, углы Геом задача повышенной сложности - student2.ru и Геом задача повышенной сложности - student2.ru равны как на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных прямых, следовательно, эти тре­уголь­ни­ки равны, от­ку­да Геом задача повышенной сложности - student2.ru Проведём пря­мую Геом задача повышенной сложности - student2.ru па­рал­лель­ную Геом задача повышенной сложности - student2.ru Пря­мая Геом задача повышенной сложности - student2.ru па­рал­лель­на Геом задача повышенной сложности - student2.ru пря­мая Геом задача повышенной сложности - student2.ru па­рал­лель­на Геом задача повышенной сложности - student2.ru следовательно, четырёхугольник Геом задача повышенной сложности - student2.ru — параллелограмм, от­ку­да Геом задача повышенной сложности - student2.ru Найдём Геом задача повышенной сложности - student2.ru Рас­смот­рим тре­уголь­ник Геом задача повышенной сложности - student2.ru заметим, что

Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Следовательно, по теореме, об­рат­ной тео­ре­ме Пифагора, получаем, что тре­уголь­ник Геом задача повышенной сложности - student2.ru — прямоугольный, следовательно, Геом задача повышенной сложности - student2.ru — вы­со­та трапеции. Найдём пло­щадь трапеции:

Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Ответ: 250.

Критерии проверки:

Задание 26 № 340359

4.Основания тра­пе­ции от­но­сят­ся как 1:3. Через точку пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей про­ве­де­на прямая, па­рал­лель­ная основаниям. В каком от­но­ше­нии эта пря­мая делит пло­щадь трапеции?

Решение.

Геом задача повышенной сложности - student2.ru Введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на рисунке. Отрезок, про­хо­дя­щий через точку пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей трапеции, равен сред­не­му гар­мо­ни­че­ско­му её оснований. Пусть Геом задача повышенной сложности - student2.ru тогда Геом задача повышенной сложности - student2.ru и Геом задача повышенной сложности - student2.ru По­сколь­ку тре­уголь­ни­ки Геом задача повышенной сложности - student2.ru и Геом задача повышенной сложности - student2.ru подобны, их вы­со­ты Геом задача повышенной сложности - student2.ru и Геом задача повышенной сложности - student2.ru , про­ве­ден­ные со­от­вет­ствен­но к сто­ро­нам Геом задача повышенной сложности - student2.ru и Геом задача повышенной сложности - student2.ru от­но­сят­ся как 3:1. Тем самым, для от­но­ше­ния ис­ко­мо­го от­но­ше­ния пло­ща­дей тра­пе­ций Геом задача повышенной сложности - student2.ru и Геом задача повышенной сложности - student2.ru имеем:

Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Ответ: 5:27.

Критерии проверки:

Задание 26 № 341292

5.Основания тра­пе­ции относятся как 2:3. Через точку пе­ре­се­че­ния диагоналей про­ве­де­на прямая, па­рал­лель­ная основаниям. В каком от­но­ше­нии эта пря­мая делит пло­щадь трапеции?

Решение.

Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Пусть диа­го­на­ли AC и BD тра­пе­ции ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми BC = 2a, AD = 3a пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O, а прямая, па­рал­лель­ная основаниям и про­хо­дя­щая через точку O, пе­ре­се­ка­ет боковые сто­ро­ны AB и CD в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но (см. рис.).

Треугольник BOC по­до­бен треугольнику DOA с ко­эф­фи­ци­ен­том Геом задача повышенной сложности - student2.ru по­это­му треугольник AMO по­до­бен треугольнику ABC с ко­эф­фи­ци­ен­том Геом задача повышенной сложности - student2.ru Значит, Геом задача повышенной сложности - student2.ru Аналогично, Геом задача повышенной сложности - student2.ru Следовательно, Геом задача повышенной сложности - student2.ru Пусть h1 и h2 — вы­со­ты подобных тре­уголь­ни­ков BOC и DOA, проведённые из общей вер­ши­ны O. Тогда Геом задача повышенной сложности - student2.ru Следовательно,

Геом задача повышенной сложности - student2.ru

Ответ: 44:81.

Критерии проверки:

Задание 26 № 311926

6.В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD бо­ко­вые сто­ро­ны равны мень­ше­му ос­но­ва­нию BC. К диа­го­на­лям тра­пе­ции про­ве­ли пер­пен­ди­ку­ля­ры BH и CE. Най­ди­те пло­щадь четырёхугольника BCEH, если пло­щадь тра­пе­ции ABCD равна 36 .

Решение.

Геом задача повышенной сложности - student2.ru

По свой­ству рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции Геом задача повышенной сложности - student2.ru следовательно, тре­уголь­ни­ки Геом задача повышенной сложности - student2.ru и Геом задача повышенной сложности - student2.ru равны. Так как Геом задача повышенной сложности - student2.ru = Геом задача повышенной сложности - student2.ru тре­уголь­ни­ки Геом задача повышенной сложности - student2.ru и Геом задача повышенной сложности - student2.ru равнобедренные, следовательно, Геом задача повышенной сложности - student2.ru и Геом задача повышенной сложности - student2.ru — со­от­вет­ству­ю­щие ме­ди­а­ны этих треугольников. Значит, Геом задача повышенной сложности - student2.ru От­ре­зок Геом задача повышенной сложности - student2.ru со­еди­ня­ет се­ре­ди­ны диа­го­на­лей трапеции, следовательно, Геом задача повышенной сложности - student2.ru и пря­мые Геом задача повышенной сложности - student2.ru Геом задача повышенной сложности - student2.ru и Геом задача повышенной сложности - student2.ru параллельны, поэтому, Геом задача повышенной сложности - student2.ru — трапеция. Проведём Геом задача повышенной сложности - student2.ru — вы­со­ту тра­пе­ции Геом задача повышенной сложности - student2.ru и Геом задача повышенной сложности - student2.ru — вы­со­ту тра­пе­ции