Геометрическая задача на доказательство

Треугольники

Четырехугольники

Окружность

Треугольники и их элементы

Задание 25 № 103

1. Геометрическая задача на доказательство - student2.ru На сто­ро­не АС тре­уголь­ни­ка АВС вы­бра­ны точки D и E так, что от­рез­ки AD и CE равны (см. рисунок). Оказалось, что от­рез­ки BD и BE тоже равны. Докажите, что тре­уголь­ник АВС — равнобедренный.

Решение.

Так как по усло­вию Геометрическая задача на доказательство - student2.ru то тре­уголь­ник Геометрическая задача на доказательство - student2.ru яв­ля­ет­ся равнобедренным. Пусть угол при ос­но­ва­нии этого тре­уголь­ни­ка равен x, тогда Геометрическая задача на доказательство - student2.ru Тре­уголь­ни­ки Геометрическая задача на доказательство - student2.ru и Геометрическая задача на доказательство - student2.ru равны по двум сто­ро­нам и углу между ними, по­это­му Геометрическая задача на доказательство - student2.ru и тре­уголь­ник Геометрическая задача на доказательство - student2.ru —равнобедренный.

Критерии проверки:

Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1305.

Задание 25 № 340341

2.Высоты AA1 и BB1 ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке E. Докажите, что углы AA1B1 и ABB1 равны.

Решение.

Геометрическая задача на доказательство - student2.ru Рассмотрим тре­уголь­ни­ки Геометрическая задача на доказательство - student2.ru и Геометрическая задача на доказательство - student2.ru они прямоугольные, углы Геометрическая задача на доказательство - student2.ru и Геометрическая задача на доказательство - student2.ru равны как вертикальные, следовательно, тре­уголь­ни­ки подобны, от­ку­да Геометрическая задача на доказательство - student2.ru Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки Геометрическая задача на доказательство - student2.ru и Геометрическая задача на доказательство - student2.ru углы Геометрическая задача на доказательство - student2.ru и Геометрическая задача на доказательство - student2.ru равны как вертикальные, Геометрическая задача на доказательство - student2.ru следовательно, эти тре­уголь­ни­ки подобны, от­ку­да Геометрическая задача на доказательство - student2.ru

См. также.

Аналогичное задание с тупоугольным треугольником: 340854.

Критерии проверки:

Задание 25 № 340854

3.В тре­уголь­ни­ке ABC с тупым углом ACB про­ве­де­ны вы­со­ты AA1 и BB1. Докажите, что тре­уголь­ни­ки A1CB1 и ACB подобны.

Решение.

Геометрическая задача на доказательство - student2.ru

Поскольку угол ACB тупой, ос­но­ва­ния высот A1 и B1 будут ле­жать на про­дол­же­ни­ях сто­рон BC и AC соответственно. Диа­го­на­ли четырёхугольника AA1B1B пересекаются, по­это­му он выпуклый. По­сколь­ку ∠AA1B = ∠AB1B = 90°, каждый из прямоугольных треугольников AA1B и AB1B вписан в окружность с диаметром AB. Это означает, что все вершины четырёхугольника AA1B1B лежат на одной окружности. Тогда углы ∠AB1A1 и ∠ABA1 равны как впи­сан­ные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на дугу A1A. Аналогично, ∠BA1B1 = ∠BAB1. Значит, ука­зан­ные тре­уголь­ни­ки по­доб­ны по двум углам.

Укажем общую теорему.

Основания двух высот треугольника (остроугольного или тупоугольного) и одна из его вершин образуют треугольник, подобный исходному; коэффициент подобия равен модулю косинуса их общего угла.

См. также.

Аналогичное задание с остроугольным треугольником: 340341.

Критерии проверки:

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 26.11.2014 ва­ри­ант МА90201.

Задание 25 № 340880

4.В вы­пук­лом четырёхугольнике ABCD углы ABD и ACD равны. Докажите, что углы DAC и DBC также равны.

Решение.

Геометрическая задача на доказательство - student2.ru Поскольку ABCD выпуклый и ∠ABD = ∠ACD, получаем, что около четырёхугольника ABCD можно опи­сать окружность. А тогда ∠DAC = ∠DBC как впи­сан­ные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на одну дугу CD.

Критерии проверки:

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 26.11.2014 ва­ри­ант МА90202.

Задание 25 № 340906

5.Окружности с цен­тра­ми в точ­ках E и F пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках C и D, причём точки E и F лежат по одну сто­ро­ну от пря­мой CD. Докажите, что CD ⊥ EF.

Решение.

Геометрическая задача на доказательство - student2.ru Точка E рав­но­уда­ле­на от C и D , по­это­му она лежит на се­ре­дин­ном пер­пен­ди­ку­ля­ре к от­рез­ку CD. То же можно ска­зать и о F. Зна­чит EF — се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр к CD, то есть CD ⊥ EF.

Критерии проверки:

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 26.11.2014 ва­ри­ант МА90203.

Задание 25 № 341688

6.Высоты AA1 и BB1 ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке E. Докажите, что углы AA1B1 и ABB1 равны.

Решение.

Геометрическая задача на доказательство - student2.ru

Поскольку диа­го­на­ли че­ты­рех­уголь­ни­ка AB1A1B пересекаются, он яв­ля­ет­ся выпуклым, а так как Геометрическая задача на доказательство - student2.ru , около него можно опи­сать окружность. Тогда углы AA1B1 и ABB1 равны как вписанные, опи­ра­ю­щи­е­ся на одну дугу AB1.

Критерии проверки:

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по математике 29.09.2015 ва­ри­ант МА90103.

Задание 25 № 129

7. Геометрическая задача на доказательство - student2.ru В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке ABC точки M, N, K — се­ре­ди­ны сто­рон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что тре­уголь­ник MNK — равносторонний.

Решение.

Так как точки M, N, K - се­ре­ди­ны сто­рон и тре­уголь­ник ABC- равносторонний, то от­рез­ки AM, MB, BN, NC, KC, AK равны. В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке все углы равны, таким образом, тре­уголь­ни­ки AMK, NMB, CNK равны по двум сто­ро­нам и углу между ними. Тогда MN=MK=KN, зна­чит тре­уголь­ник MNK- равносторонний.

Критерии проверки:

Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1309.

Задание 25 № 311561

8.На стороне Геометрическая задача на доказательство - student2.ru треугольника Геометрическая задача на доказательство - student2.ru отмечены точки Геометрическая задача на доказательство - student2.ru и Геометрическая задача на доказательство - student2.ru так, что Геометрическая задача на доказательство - student2.ru . Докажите, что если Геометрическая задача на доказательство - student2.ru , то Геометрическая задача на доказательство - student2.ru .

Решение.

Геометрическая задача на доказательство - student2.ru

Треугольник Геометрическая задача на доказательство - student2.ru — равнобедренный, по­это­му Геометрическая задача на доказательство - student2.ru . Значит, Геометрическая задача на доказательство - student2.ru и тре­уголь­ни­ки Геометрическая задача на доказательство - student2.ru и Геометрическая задача на доказательство - student2.ru равны по пер­во­му при­зна­ку ра­вен­ства треугольников. Значит, Геометрическая задача на доказательство - student2.ru .

Критерии проверки:

Источник: ГИА-2013. Математика. Диагностическая работа № 2.(1 вар)

Задание 25 № 311567

9.На медиане Геометрическая задача на доказательство - student2.ru треугольника Геометрическая задача на доказательство - student2.ru отмечена точка Геометрическая задача на доказательство - student2.ru . Докажите, что если Геометрическая задача на доказательство - student2.ru , то Геометрическая задача на доказательство - student2.ru .

Решение.

Геометрическая задача на доказательство - student2.ru

Поскольку тре­уголь­ник Геометрическая задача на доказательство - student2.ru — равнобедренный, получаем, что его ме­ди­а­на Геометрическая задача на доказательство - student2.ru также яв­ля­ет­ся высотой. Значит, в тре­уголь­ни­ке Геометрическая задача на доказательство - student2.ru от­ре­зок Геометрическая задача на доказательство - student2.ru яв­ля­ет­ся вы­со­той и медианой. По­это­му тре­уголь­ник Геометрическая задача на доказательство - student2.ru — равнобедренный, то есть Геометрическая задача на доказательство - student2.ru .

Критерии проверки:

Источник: ГИА-2013. Математика. Диагностическая работа № 2.(5 вар)

Задание 25 № 311602

10.Докажите, что бис­сек­три­сы углов при ос­но­ва­нии рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равны.

Решение.

Имеем: Геометрическая задача на доказательство - student2.ru

Геометрическая задача на доказательство - student2.ru

Докажем, что Геометрическая задача на доказательство - student2.ru .

1) Геометрическая задача на доказательство - student2.ru по сто­ро­не и двум при­ле­жа­щим к ней углам:

а) Геометрическая задача на доказательство - student2.ru — общая;

б) Геометрическая задача на доказательство - student2.ru по свой­ству углов рав­но­бед­рен­но­го треугольника;

в) Геометрическая задача на доказательство - student2.ru по опре­де­ле­нию бис­сек­три­сы и ра­вен­ству углов при ос­но­ва­нии рав­но­бед­рен­но­го треугольника.

2) Геометрическая задача на доказательство - student2.ru как со­от­вет­ству­ю­щие эле­мен­ты рав­ных треугольников.

Критерии проверки:

Источник: ГИА-2012. Математика. Диагностическая работа № 1 (1 вар)

Задание 25 № 311605

11. Геометрическая задача на доказательство - student2.ru Два рав­но­сто­рон­них тре­уголь­ни­ка имеют общую вершину. Докажите, что от­ме­чен­ные на ри­сун­ке от­рез­ки Геометрическая задача на доказательство - student2.ru и Геометрическая задача на доказательство - student2.ru равны.

Решение.

Рассмотрим тре­уголь­ни­ки Геометрическая задача на доказательство - student2.ru и Геометрическая задача на доказательство - student2.ru .
В них Геометрическая задача на доказательство - student2.ru и

Геометрическая задача на доказательство - student2.ru 60° Геометрическая задача на доказательство - student2.ru .


Следовательно, эти тре­уголь­ни­ки равны по двум сто­ро­нам и углу между ними.
Поэтому Геометрическая задача на доказательство - student2.ru как со­от­вет­ству­ю­щие сто­ро­ны рав­ных треугольников.

Критерии проверки:

Источник: ГИА-2012. Математика. Диагностическая работа №2 (2 вар.)

Задание 25 № 311606

12. Геометрическая задача на доказательство - student2.ru Два рав­ных пря­мо­уголь­ни­ка имеют общую вер­ши­ну Геометрическая задача на доказательство - student2.ru (см. рис.). Докажите, что пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков Геометрическая задача на доказательство - student2.ru и Геометрическая задача на доказательство - student2.ru равны.

Решение.

Две сто­ро­ны од­но­го тре­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но равны двум сто­ро­нам другого: Геометрическая задача на доказательство - student2.ru и Геометрическая задача на доказательство - student2.ru . Рас­смот­рим углы между ними:

Геометрическая задача на доказательство - student2.ru 360° Геометрическая задача на доказательство - student2.ru 180° Геометрическая задача на доказательство - student2.ru .


Поэтому

Геометрическая задача на доказательство - student2.ru .

Критерии проверки:

Источник: ГИА-2012. Математика. Диагностическая работа №2 (3 вар.)

Задание 25 № 311665

13.Докажите, что у рав­ных тре­уголь­ни­ков Геометрическая задача на доказательство - student2.ru и Геометрическая задача на доказательство - student2.ru биссектрисы, проведённые из вер­ши­ны Геометрическая задача на доказательство - student2.ru и Геометрическая задача на доказательство - student2.ru , равны.

Решение.

Пусть Геометрическая задача на доказательство - student2.ru и Геометрическая задача на доказательство - student2.ru — бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ков Геометрическая задача на доказательство - student2.ru и Геометрическая задача на доказательство - student2.ru . В тре­уголь­ни­ках Геометрическая задача на доказательство - student2.ru и Геометрическая задача на доказательство - student2.ru со­от­вет­ствен­но равны сто­ро­ны Геометрическая задача на доказательство - student2.ru и Геометрическая задача на доказательство - student2.ru , а также углы Геометрическая задача на доказательство - student2.ru и Геометрическая задача на доказательство - student2.ru , Геометрическая задача на доказательство - student2.ru и Геометрическая задача на доказательство - student2.ru . Следовательно, тре­уголь­ни­ки равны по вто­ро­му при­зна­ку ра­вен­ства треугольников. Значит, Геометрическая задача на доказательство - student2.ru , что и тре­бо­ва­лось доказать. Геометрическая задача на доказательство - student2.ru

Критерии проверки:

Источник: ГИА-2013. Математика. Тренировочная работа №2.(4 вар)

Задание 25 № 311669

14.В тре­уголь­ни­ке Геометрическая задача на доказательство - student2.ru угол Геометрическая задача на доказательство - student2.ru равен 36°, Геометрическая задача на доказательство - student2.ru — биссектриса. Докажите, что тре­уголь­ник Геометрическая задача на доказательство - student2.ru — равнобедренный.

Решение.

Геометрическая задача на доказательство - student2.ru Треугольник Геометрическая задача на доказательство - student2.ru равнобедренный, по­это­му Геометрическая задача на доказательство - student2.ru = 72°. Значит, Геометрическая задача на доказательство - student2.ru = 36°. Таким образом, углы Геометрическая задача на доказательство - student2.ru и Геометрическая задача на доказательство - student2.ru равны, по­это­му тре­уголь­ник Геометрическая задача на доказательство - student2.ru — равнобедренный.

Критерии проверки:

Источник: ГИА-2013. Математика. Пробные варианты от ФИПИ (1 вар.)

Задание 25 № 311773

15.В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC угол B равен 60°. Докажите, что точки A, C, центр опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC и точка пе­ре­се­че­ния высот тре­уголь­ни­ка ABC лежат на одной окружности.

Решение.

Геометрическая задача на доказательство - student2.ru

Обозначим центр опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC черезO, а точку пе­ре­се­че­ния высот через H. Тогда Геометрическая задача на доказательство - student2.ru и Геометрическая задача на доказательство - student2.ru Таким образом, точки A, C, O и H лежат на одной окружности.

Критерии проверки:

Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская работа по ма­те­ма­ти­ке 01.10.2013 ва­ри­ант МА90101.

Задание 25 № 311969

16.Окружность ка­са­ет­ся стороны AB тре­уголь­ни­ка ABC, у ко­то­ро­го ∠C = 90°, и про­дол­же­ний его сто­рон AC и BC за точки A и B соответственно. Докажите, что пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ABC равен диа­мет­ру этой окружности.

Решение.

Геометрическая задача на доказательство - student2.ru

Пусть O — центр окружности, d — её диаметр, а M, N и K — точки ка­са­ния окруж­но­сти с пря­мы­ми AC, AB и BC соответственно. Ра­ди­ус OM пер­пен­ди­ку­ля­рен AC, а OK пер­пен­ди­ку­ля­рен BC. Следовательно, в четырёхугольнике OMCK имеем ∠C = ∠M = ∠K = 90°, а значит, OMCK — прямоугольник. По­сколь­ку OM = OK, пря­мо­уголь­ник OMCK — квадрат. Следовательно, Геометрическая задача на доказательство - student2.ru

Отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны: AM = AN, BN = BK и CM = CK. Пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ABC равен

P = AB + BC + AC = AC + AN + BN + BC =

= AC + AM + BK + BC = MC + CK = 2MC = d.

Критерии проверки:

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная работа по ма­те­ма­ти­ке 19.11.2013 ва­ри­ант МА90202.

Задание 25 № 315062

17. Геометрическая задача на доказательство - student2.ru На сто­ро­не АС тре­уголь­ни­ка АВС вы­бра­ны точки D и E так, что углы АDB и BEC равны (см. ри­су­нок). Ока­за­лось, что от­рез­ки AЕ и CD тоже равны. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник АВС — рав­но­бед­рен­ный.

Решение.

Геометрическая задача на доказательство - student2.ru

Углы Геометрическая задача на доказательство - student2.ru и Геометрическая задача на доказательство - student2.ru равны, по­это­му тре­уголь­ник Геометрическая задача на доказательство - student2.ru — равнобедренный, то есть Геометрическая задача на доказательство - student2.ru

Углы Геометрическая задача на доказательство - student2.ru и Геометрическая задача на доказательство - student2.ru — развёрнутые, поэтому:

Геометрическая задача на доказательство - student2.ru

Рассмотрим тре­уголь­ни­ки Геометрическая задача на доказательство - student2.ru и Геометрическая задача на доказательство - student2.ru Геометрическая задача на доказательство - student2.ru следовательно, эти тре­уголь­ни­ки равны, а значит, Геометрическая задача на доказательство - student2.ru то есть тре­уголь­ник Геометрическая задача на доказательство - student2.ru — равнобедренный.

Критерии проверки:

Источник: Банк заданий ФИПИ

Задание 25 № 315085

18. Геометрическая задача на доказательство - student2.ru На сто­ро­не АС тре­уголь­ни­ка АВС вы­бра­ны точки D и E так, что от­рез­ки AD и CE равны (см. ри­су­нок). Ока­за­лось, что углы АDB и BEC тоже равны. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник АВС — рав­но­бед­рен­ный.

Решение.

Геометрическая задача на доказательство - student2.ru

Углы Геометрическая задача на доказательство - student2.ru и Геометрическая задача на доказательство - student2.ru — развёрнутые, поэтому:

Геометрическая задача на доказательство - student2.ru

Углы Геометрическая задача на доказательство - student2.ru и Геометрическая задача на доказательство - student2.ru равны, следовательно, треуголь­ник Геометрическая задача на доказательство - student2.ru — равнобедренный, зна­чит Геометрическая задача на доказательство - student2.ru

Рассмотрим тре­уголь­ни­ки Геометрическая задача на доказательство - student2.ru и Геометрическая задача на доказательство - student2.ru Геометрическая задача на доказательство - student2.ru следовательно, эти тре­уголь­ни­ки равны, а значит, Геометрическая задача на доказательство - student2.ru то есть тре­уголь­ник Геометрическая задача на доказательство - student2.ru — равнобедренный.

Критерии проверки:

Источник: Банк заданий ФИПИ

Задание 25 № 316244

19.В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC точки A, C, центр опи­сан­ной окруж­но­сти O и центр впи­сан­ной окруж­но­сти I лежат на одной окружности. Докажите, что угол ABC равен 60°.

Решение.

Геометрическая задача на доказательство - student2.ru В тре­уголь­ни­ке ABC имеем Геометрическая задача на доказательство - student2.ru , а Геометрическая задача на доказательство - student2.ru

Таким образом, Геометрическая задача на доказательство - student2.ru значит, Геометрическая задача на доказательство - student2.ru Геометрическая задача на доказательство - student2.ru

Критерии проверки:

Источник: Диагностическая работа 01.10.2013 Вариант МА90105

Задание 25 № 316334

20.В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC угол B равен 60° . Докажите, что точки A, C, центр опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC и центр впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC лежат на одной окружности.

Решение.

Геометрическая задача на доказательство - student2.ru Обо­зна­чим центр опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC через O, а центр впи­сан­ной окруж­но­сти через I.

Тогда

Геометрическая задача на доказательство - student2.ru

Геометрическая задача на доказательство - student2.ru

Таким образом, точки A, C, O и I лежат на одной окружности.

Критерии проверки:

Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская работа по ма­те­ма­ти­ке 01.10.2013 ва­ри­ант МА90103.

Задание 25 № 333348

21.Известно, что около четырёхугольника ABCD можно опи­сать окруж­ность и что про­дол­же­ния сто­рон AD и BC четырёхугольника пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K. Докажите, что тре­уголь­ни­ки KAB и KCD подобны.

Решение.

Геометрическая задача на доказательство - student2.ru Поскольку четырёхугольник ABCD вписанный, сумма углов ABC и ADC равна 180°.

Следовательно,

∠KDC =180° − ∠ADC = ∠ABC.

Получаем, что в тре­уголь­ни­ках KAB и KCD углы ABK и CDK равны, угол K общий, следовательно, эти тре­уголь­ни­ки подобны.

Критерии проверки:

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 26.11.2014 ва­ри­ант МА90702.

Задание 25 № 339384

22.До­ка­жи­те, что ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка делит его на два тре­уголь­ни­ка, пло­ща­ди ко­то­рых равны между собой.

Решение.

Геометрическая задача на доказательство - student2.ru Введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на рисунке. Проведём ме­ди­а­ну Геометрическая задача на доказательство - student2.ru и вы­со­ту Геометрическая задача на доказательство - student2.ru Пло­щадь тре­уголь­ни­ка Геометрическая задача на доказательство - student2.ru Геометрическая задача на доказательство - student2.ru , пло­щадь тре­уголь­ни­ка Геометрическая задача на доказательство - student2.ru Геометрическая задача на доказательство - student2.ru От­рез­ки Геометрическая задача на доказательство - student2.ru и Геометрическая задача на доказательство - student2.ru равны, следовательно, Геометрическая задача на доказательство - student2.ru

Критерии проверки:

Задание 25 № 340243

23.В тре­уголь­ни­ке ABC с тупым углом ACB про­ве­де­ны вы­со­ты AA1 и BB1. Докажите, что тре­уголь­ни­ки A1CB1 и ACB подобны.

Решение.

Углы Геометрическая задача на доказательство - student2.ru и Геометрическая задача на доказательство - student2.ru равны как углы с вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми сторонами. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки Геометрическая задача на доказательство - student2.ru и Геометрическая задача на доказательство - student2.ru они прямоугольные, углы Геометрическая задача на доказательство - student2.ru и Геометрическая задача на доказательство - student2.ru равны, следовательно, эти тре­уголь­ни­ки подобны, от­ку­да Геометрическая задача на доказательство - student2.ru Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки Геометрическая задача на доказательство - student2.ru и Геометрическая задача на доказательство - student2.ru углы Геометрическая задача на доказательство - student2.ru и Геометрическая задача на доказательство - student2.ru равны как вертикальные, Геометрическая задача на доказательство - student2.ru следовательно, эти тре­уголь­ни­ки подобны.

Критерии проверки:

Задание 25 № 349266

24.Известно, что около четырёхугольника ABCD можно опи­сать окруж­ность и что про­дол­же­ния сто­рон AD и BC четырёхугольника пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K. Докажите, что тре­уголь­ни­ки KAB и KCD подобны.

Решение.

Геометрическая задача на доказательство - student2.ru Поскольку четырёхугольник ABCD вписанный, сумма углов ABC и ADC равна 180°.

Следовательно,

∠KDC =180° − ∠ADC = ∠ABC.

Получаем, что в тре­уголь­ни­ках KAB и KCD углы ABK и CDK равны, угол K общий, следовательно, эти тре­уголь­ни­ки подобны.

----------

Дублирует задание 333348

Задание 25 № 350829

25.В тре­уголь­ни­ке ABC с тупым углом BAC про­ве­де­ны вы­со­ты BB1 и CC1. Докажите, что тре­уголь­ни­ки AB1C1 и ABC подобны.

Решение.

Углы Геометрическая задача на доказательство - student2.ru и Геометрическая задача на доказательство - student2.ru равны как углы с вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми сторонами. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки Геометрическая задача на доказательство - student2.ru и Геометрическая задача на доказательство - student2.ru они прямоугольные, углы Геометрическая задача на доказательство - student2.ru и Геометрическая задача на доказательство - student2.ru равны, следовательно, эти тре­уголь­ни­ки подобны, от­ку­да Геометрическая задача на доказательство - student2.ru Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки Геометрическая задача на доказательство - student2.ru и Геометрическая задача на доказательство - student2.ru углы Геометрическая задача на доказательство - student2.ru и Геометрическая задача на доказательство - student2.ru равны как вертикальные, Геометрическая задача на доказательство - student2.ru следовательно, эти тре­уголь­ни­ки подобны.

Задание 25 № 353162

26.В остроугольном треугольнике Геометрическая задача на доказательство - student2.ru проведены высоты Геометрическая задача на доказательство - student2.ru и Геометрическая задача на доказательство - student2.ru . Докажите, что углы Геометрическая задача на доказательство - student2.ru и Геометрическая задача на доказательство - student2.ru равны.

Наши рекомендации