Построение эпюр внутренних силовых факторов

Растяжение (сжатие). Вал нагружен двумя сосредоточенными продольными силами: N₁ и реакцией R_Cz = N₁ в опоре С (рис. 5.2, б), которые вызывают на участке CD растяжение. Построим эпюру нормальных сил ЭN (рис. 5.2, в).

Кручение. Два скручивающих момента T₁ и T₂(рис. 5.2, г) вызывают кручение на участке АD. Эпюру крутящих моментов ЭT строим так же, как и при чистом кручении (рис. 5.2, д).

Изгибв вертикальной плоскостиyz (рис. 5.2, е). Эпюра ЭM_x изгибающих моментов строится от сил Р₂, R₁, R_Cy и R_By и изгибающего момента , действующих в вертикальной плоскости. Из уравнений статического равновесия определим R_Cy и R_Dy:

откуда

Проверим правильность определения реакций. Для этого запишем уравнения статического равновесия в виде суммы проекций всех сил на ось Ax:

.

Следовательно, реакции и определены верно.

Рис. 5.2

Так как балка нагружена только сосредоточенными силовыми факторами, то изгибающий момент M_x на всех участках будет постоянен или меняться по линейному закону. Вычислим изгибающие моменты M_x в сечениях A, C, D и B:

По полученным значениям строим эпюру ЭM_x (рис. 5.2, ж).

Изгибв горизонтальной плоскостиzx (рис. 5.2, з). Эпюра ЭM_y изгибающих моментов относительно оси y строится от сил F₁и R₂. Из уравнений статического равновесия определим реакции в опорах C и D (R_Cx и R_Dx ):

;

,

откуда

Н;

Н.

Для проверки правильности определения реакций запишем уравнения статического равновесия в виде суммы проекций всех сил F_i на ось y:

.

Следовательно, реакции и найдены верно.

Изгибающий момент M_y на всех участках будет постоянен или меняться по линейному закону, так как балка нагружена только сосредоточенными силовыми факторами. Вычислим изгибающие моменты M_y в сечениях A, C, D и B:

;

Нм;

Нм;

.

По полученным значениям изгибающих моментов строим эпюру ЭM_y (рис. 5.2, и).

Построение эпюры суммарных изгибающих моментов.Поскольку вал имеет круглое поперечное сечение, определим в сечениях величину суммарного изгибающего момента . В сечениях A, C, D и B их значения будут соответственно равны

;

;

.

По полученным данным построим эпюру суммарных изгибающих моментов ЭM_и (рис. 5.2, к).

Расчет диаметра вала

Для определения опасного сечения находим величины эквивалентных моментов по третьей теории прочности . Тогда сечениях A, C, D и В вала:

;

;

.

Анализ результатов показывает, что опасным является сечение С, в котором эквивалентный момент достигает максимального значения и равен .

Найдем допускаемое напряжение . Так как сталь 40ХН пластична, то за s_пред принимаем предел текучести s_Т.. Согласно табл. П3 s_Т = 750 МПа, коэффициент запаса для пластичных материалов n = 1,5¸2,5. Примем n = 2, тогда .

Из условия прочности

,

где – осевой момент сопротивления для круглого поперечного сечения диаметром d, определим расчетный диаметр вала

мм.

В соответствии с ГОСТ 6636-69 (табл. П4, Ra40) округляем d_расч до ближайшего большего значения и принимаем d = 26 мм. Вычислим геометрические характеристики этого сечения:

- площадь поперечного сечения м²;

- осевой момент инерции м⁴;

- осевой момент сопротивления м³;

- полярный момент инерции = м⁴;

- полярный момент сопротивления

м³.

Рассмотрим опасное сечение вала D, в котором действуютсуммарный изгибающий момент М_и = 342 Нм, крутящий момент Т = 500 Нм и продольная сила N = 910 Н (рис. 5.3).

Нормальные напряжения от изгиба определяются по формуле . ( – осевой момент инерции, у – координата точки сечения по оси y). На внешних волокнах (в точке K, рис. 5.3) они равны .

Нормальные напряжения от растяжения определим как МПа. Касательные напряжения .

Построим эпюры этих напряжений Э , Э , Э (рис. 5.3).

В опасной точке А имеет место плоское напряженное состояние (рис. 5.3, в). В этой точке действуют максимальные эквивалентные напряжения s_{экв max}. Определим их по III теории прочности:

МПа.

Видно, что условие прочности выполняется, так как 352 МПа < 375 МПа.

Определим недогрузку вала, учитывая, что диаметр вала выбран больше расчетного:

.

Недогрузка D_s меньше допустимого значения 15%. Таким образом, диаметр вала подобран правильно.

Рис. 5.3

Расчет вала на жесткость

В расчетах примем модуль упругости (стали) E = 210 ГПа, жесткость сечения EJ_oc = 210·10⁹·2,24·10^-8= 4704 Нм². Для определения перемещений используем способ Верещагина [2].