Расчет цилиндрических прямозубых колес на прочность по контактным напряжениям

Целью этого расчета является предотвращение разрушения рабочих поверхностей зубьев вследствие возникновения повторных контактных напряжений сдвига.

В основу расчета зубьев на прочность по контактным напряжениям положена теория статически сжатых цилиндров, разработанная Герцем и развитая Беляевым. Сущность теории Герца-Беляева состоит в следующем. Под действием силы нормального давления F_Hn на контактных поверхностях двух цилиндров возникают контактные напряжения σ_H (рис. 4.8).

Величину этих контактных напряжений определяют по формуле

(4.116)

где - равномерно распределенная нагрузка, действующая на зубья;

- приведенный модуль упругости;

- приведенный радиус кривизны;

μ - коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона).

Применим теорию Герца-Беляева для получения основных зависимостей при расчете зубьев прямозубых цилиндрических колес на прочность по контактным напряжениям. Наибольшие контактные напряжения возникают в тот момент, когда точка контакта находится в полюсе зацепления.

Условие прочности зубьев по контактным напряжениям можно в общем виде записать неравенством σ_H ≤ σ_HP, где σ_H – расчетное контактное напряжение; σ_HP - допускаемое контактное напряжение.

Изобразим зубья шестерни и колеса в тот момент, когда они касаются в полюсе зацепления. Заменим зубья шестерни и колеса цилиндрами с радиусами, равными радиусам кривизны эвольвентных профилей зубьев в точке их касания (рис.4.9).

Согласно свойствам эвольвенты центры заменяющих цилиндров находятся на общей нормали к сопряженным профилям NN в точках А и В, крайних точках линии зацепления АВ.

Радиус кривизны эвольвентного профиля зуба первого колеса:

(4.117)

Радиус кривизны бокового профиля второго зуба:

Рис. 4.8

(4.21)

В формулах (4.20) и (4.21) d₁ и d₂ – делительные диаметры зубчатых колес; u – передаточное число зубчатой передачи.

Приведенный радиус кривизны:

Рис. 4.9

Приведенный модуль упругости с учетом того, что сопряженные колеса изготовлены из стали, т.е. Е₁=Е₂.

Выразим равномерно распределенную нагрузку q_Hn, действующую на зубья через крутящий момент на ведущем звене (шестерне):

где F_Ht – окружное усилие; Т₁ – крутящий момент на шестерне; b_w – ширина зубчатого венца (длина зуба).

Подставим значения q_Hn, E_io и ρ_io в формулу Герца-Беляева (4.19):

(4.22)

Введем следующие обозначения:

Z_м – коэффициент, учитывающий механические свойства материалов шестерни и колеса:

Учитывая значения для стальных колес модуля упругости Е=2,1×10⁵ МПа и коэффициента Пуассона μ=0,3, получаем Z_M= 275МПа^1/2;

Z_Н – коэффициент, учитывающий форму сопряженных поверхностей зубьев:

Поскольку для некорригированных колес, а также колес с высотной коррекцией, в основном используемых в зубчатых передачах, угол зацепления α_w=20°, коэффициент Z_н=1,77.

В связи с тем что в процессе работы передачи в зацеплении может находиться не одна пара зубьев, происходит изменение длины контактных линий, учитываемое коэффициентом Z_ε:

где ε_α – коэффициент перекрытия.

С учетом введенных коэффициентов формула (4.22) примет вид:

(4.23)

Выразим диаметр начальной окружности шестерни d_w1 через межосевое расстояние α_w:

(4.24)

Введем в формулу (4.23) коэффициент нагрузки К_Н, учитывающий форму сопряженных поверхностей зубьев.

где К_Нα – коэффициент, учитывающий распределение нагрузки между зубьями. Для прямозубой передачи К_Нα=1,0;

К_Нβ – коэффициент, учитывающий неравномерность распределения нагрузки по ширине зубчатого колеса. Коэффициент K_Hβ зависит от поверхностной твердости зубьев, ширины зубчатого венца и схемы передачи;

К_Нv – коэффициент динамической нагрузки, зависит от степени точности зубчатых колес, которая назначается в зависимости от окружной скорости.

После подстановки в формулу (4.23) зависимости (4.24), коэффициента К_Н и приближенных значений коэффициентов Z_i=275, Z_H =1,77, Z_ε=1 и преобразований получим следующие выражения расчетов прямозубых зубчатых передач, изготовленных из сталей:

(4.25)

(4.26)

Формула (4.25) применяется для проверочных расчетов. Формула (4.26) – для проектных расчетов. В выражениях (4.25), (4.26) приняты следующие обозначения и размерности величин: Т₁ – крутящий момент на шестерне, Н·м; а_w – межосевое расстояние, мм; σ_НР, σ_Н – контактные напряжения, МПа; b_w2 –ширина колеса, мм; ψ_ba =b_w/a_w– коэффициент ширины колеса, безразмерная величина. Во всех формулах в сочетании u±1 знак «+» соответствует внешнему зацеплению колес, а знак «-» - внутреннему.